VI. Teória relativity vs. kvantová mechanika

Autor: Martin Scholtz | 13.2.2011 o 14:25 | Karma článku: 9,12 | Prečítané:  3697x

V tomto článku sa sústredíme na základné konflikty medzi špeciálnou teóriou relativity a kvantovou mechanikou tak ako ju pôvodne sformulovali Heisenberg a Schrödinger. Vysvetlíme obsah Schrödingerovej rovnice a jej súvis s klasickou fyzikou, obzvlášť vzťah medzi energiou a hybnosťou. Uvidíme, prečo Schrödingerova rovnica nie je zlučiteľná s teóriou relativity, ako relativita vplýva na Heisenbergov vzťah neurčitosti, povieme si, že kvantová mechanika neumožňuje popísať základné relativistické javy, premenu energie na hmotnosť a naopak.

Rekapitulácia

 

Začať článok odsekom "Rekapitulácia" môže pripomínať cimrmanovskú hru Lijavec, ktorá začína záverečnou besedou o tejto hre. Podotýkam preto, že slovo rekapitulácia sa v tomto prípade vzťahuje na predošlý článok, kde som sa pokúsil vysvetliť ako v kvantovej mechanike reprezentujeme stav fyzikálneho systému.

Používam tu trošku matematickej symboliky, ale to skôr pre tých, ktorých to zaujíma. Pre ostatných je dôležité len to, že vlnová funkcia častice udáva pravdepodobnosť, že sa častica nachádza na určitom konkrétnom mieste. Bez straty súvislosti je možné čítať článok od nasledujúceho odseku č. 9.

Tak teda, zarekapitulujme si. Predpokladajme, že častica sa môže nachádzať v rôznych energetických stavoch E1, E2, E3 atď. Tieto energetické hladiny tvoria diskrétne spektrum, teda množinu hodnôt oddelených pásmi zakázaných energií. To je zmysel tvrdenia, že energia je kvantovaná. Častica ( pre konkrétnosť elektrón) sa môže nachádzať v tzv. ostrom stave, kedy je jej energia určite (s pravdepodobnosťou 1) E1. Takýto stav nazývame bázový a označujeme ho symbolom

|1>

Podobne, symbol |n>  označuje stav, kedy má elektrón určite energiu En. Avšak vo všeobecnosti sa elektrón bude nachádzať v stave

|S> = a1 |1> + a2 |2> + a3 |3> + ...

To znamená, že elektrón nemá žiadnu konkrétnu energiu, ale keď vykonáme experiment, ktorým energiu zmeriame, s pravedpodobnosťou a12 ("á jedna na druhú") dostaneme energiu E1 , s pravdepodobnosťou a22 dostaneme energiu E2 , atď. Koeficient an sa nazýva amplitúda pravdepodobnosti, že elektrón je v stave |n> s energiou En. Samotná pravdepodobnosť je potom druhá mocnina amplitúdy.

V stave |S> sú teda zakódované jednak možné hodnoty energie, jednak pravdepodobnosti, s ktorými tú-ktorú energiu nameriame. Hovoríme, že stav |S> je superpozíciou bázových stavov |1>, |2>, .... Amplitúdu pravdepodobnosti toho, že elektrón v stave |S> má energiu En označujeme symbolom

< n | S >

a teda platí an = < n | S >.

 

Povedali sme si tiež, že nie všetky veličiny sú kvantované. Napríklad poloha voľne poletujúceho elektrónu je veličina spojitá, môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Amplitúda pravdepodobnosti, že elektrón v stave |S> má polohu x je daná výrazom

< x | S >,

lenže x je teraz spojitá veličina. To znamená, že môžeme definovať funkciu psí závislú od premennej x, pričom jej hodnota

psí(x) = < x | S >

je amplitúda toho, že častica sa nachádza v mieste x. Funkcia psí sa nazýva vlnová funkcia.

 

 

9. Schrödingerova rovnica

 

Čo teda popisuje táto slávna rovnica? Zhruba povedané, umožňuje vypočítať vlnovú funkciu. Vezmeme si nejaký systém, napríklad elektrón obiehajúci okolo jadra. Ak poznáme sily, ktorými na seba jadro a elektrón pôsobia, vieme (v princípe) vyriešiť Schrödingerovu rovnicu a jej riešením je vlnová funkcia. Tá nám umožní vypočítať energetické spektrum elektrónu a pravdepodobnosti príslušných energií, umožňuje nám zistiť pravdepodobnosti jednotlivých polôh a podobne. Podľa kvantovej mechaniky je toto maximum, čo môžeme od fyzikálnej teórie očakávať.

 

Stavy elektrónu v obale atómu sú často stacionárne, to znamená, že stav elektrónu sa v čase nemení. To platí napríklad vtedy, ak je atóm izolovaný, teda nijako neinteraguje s okolím. Ale vo fyzikálne zaujímavých aplikáciách je tom často naopak. Atóm môže byť napríklad v časovo premennom silovom poli, ktoré môže energetické spektrum elektrónu ovplyvniť. Pravdepodobnosť, že elektrón má nejakú konkrétnu energiu môže byť ovplyvnená tým, že vonkajšie pole dodá energiu elektrónu v atóme a ten nakoniec atóm opustí. Takýto stav určite nie je stacionárny. Iným príkladom sú zrážky častíc v urýchľovačoch. Všetky takéto procesy sú časovo závislé a vlnová funkcia zúčastnených častíc preto tiež závisí od času.

Preto je presnejšie povedať, že Schrödingerova rovnica udáva časový vývoj vlnovej funkcie. V špeciálnom prípade, kedy je systém stacionárny, je Schrödingerova rovnica diferenciálnou rovnicou pre časovo nezávislú vlnovú funkciu.

Presný tvar Schrödingerovej rovnice tu neuvádzam, pretože by sa jednalo o dlhé odbočenie, a nie je teraz mojim cieľom vysvetľovať celú kvantovú mechaniku. Pre náš terajší príbeh je ale dôležitá jedna podstatná vlastnosť Schrödingerovej rovnice, a síce, že predstavuje kvantovomechanickú verziu klasického vzťahu medzi energiou a hybnosťou častice.

 

10. Energia a hybnosť

V klasickej mechanike existujú má častica dva druhy energie: kinetickú a potenciálnu. Kinetická alebo pohybová energia súvisí s pohybovým stavom častice. Predstavme si časticu hmotnosti m, ktorá je na začiatku v pokoji, ktorú chceme urýchliť na nejakú rýchlosť v. Častica však nezmení svoju rýchlosť len tak z ničoho Čič, môže sa to stať len pôsobením sily. Tú silu musí niekto vyvinúť a bude ho to stáť nejakú energiu. Hovoríme, že na urýchlenie častice je nutné konať prácu (ľud tento fyzikálny poznatok objavil už dávno a vyjadril ho v priliehavom prísloví o práci a koláčoch). Konať prácu znamená pôsobiť silou na časticu a spôsobiť jej pohyb po určitej dráhe. Keď chceme urýchliť časticu na vopred danú rýchlosť v, môžeme postupovať rôzne. Napríklad pôsobiť maličkou silou, počkať dosť dlho, až častica nadobudne želanú rýchlosť. Alebo môžeme pôsobiť veľkou silou a želanú rýchlosť dosiahnuť po krátkom čase. Zaujímavé je, že vykonaná práca nezávisí od toho, aký postup zvolíme. Závisí len od hmotnosti telesa a od výslednej rýchlosti. Táto práca nutná na urýchlenie telesa na rýchlosť v sa nazýva kinetická energia a vypočíta sa podľa vzťahu známeho z prvého ročníka strednej školy:

E = m v2 / 2.

Kinetická energia teda súvisí s pohybovým stavom telesa. Nezávisí od jeho polohy v priestore, ani od nejakých iných faktorov, závisí jedine od jeho rýchlosti a hmotnosti. Energia, ktorú sme telesu dodali, však nie je stratená, pretože toto teleso môže celú kinetickú energiu uvoľniť, pričom vykoná presne rovnakú prácu, akú sme potrebovali na jeho urýchlenie.

Druhý typ energie, potenciálnu energiu, má teleso len vtedy, ak sa nachádza v nejakom silovom poli. Najjednoduchším prípadom je gravitačné pole Zeme. Aby sme dvihli teleso do určitej výšky, potrebujeme znovu vykonať prácu, ktorú potom považujeme za potenciálnu energiu tohoto telesa.

Teraz sa ale obmedzíme na voľné častice, teda častice, ktoré sa pohybujú priestorom a nepôsobia na ne žiadne sily. Voľná častica má len kinetickú energiu a tá, ako sme povedali, charakterizuje jej pohybový stav. Niečo podobné sme však tvrdili aj o hybnosti. Pripomínam, že hybnosť p je súčin hmotnosti a rýchlosti častice. Čím rýchlejšie sa častica pohybuje a čím je hmotnejšia, tým ťažšie je zastaviť ju. Kinetická energia aj hybnosť rôznym spôsobom vypovedajú o pohybovom stave. Jeden z markantných rozdielov je, že hybnosť je vektor, má smer rýchlosti, kdežto kinetická energia smer nemá, je to prosté číslo. Ale pretože obe sa vzťahujú k pohybovému stavu, mala by medzi nimi existovať nejaká súvislosť. Nájdeme ju jednoduchou algebraickou úpravou. Veľkosť hybnosti je podľa definície

p = m v,

zatiaľ čo energia je daná vzťahom uvedeným vyššie. Z toho vyplýva dôležitý vzťah

E = p2 / 2 m.

Je to vzťah medzi energiou voľnej častice a jej hybnosťou.

 

Pôvodne som chcel vysvetliť, prečo je tento vzťah dôležitý pre Schrödingerovu rovnicu. V podstate je vodítkom pre to, ako Schrödinger svoju rovnicu objavil. Začal som o tom písať a vyprodukoval niekoľkostranové monštrum... Preto sa obmedzím len na nasledujúce konštatovanie.

Schrödingerova rovnica popisuje časticu v silovom poli, teda časticu, ktorá má kinetickú aj potenciálnu energiu. Ale v špeciálnom prípade s môžeme obmedziť na voľnú časticu, na ktorú žiadne sily nepôsobia. V takomto prípade môžeme Schrödingerovu rovnicu ľahulinko vyriešiť a ako riešenie dostaneme vlnovú funkciu voľnej častice. Z vlnovej funkcie vieme získať energiu, hybnosť aj polohu častice, alebo aspoň pravdepodobnosti im náležiace. Riešenie pre voľnú časticu má tú zvláštnosť, že poloha častice vôbec nie je definovaná. Alebo inak, každá mysliteľná poloha častice je rovnako pravdepodobná. Vlnová funkcia voľnej častice nám nedáva žiadnu predpoveď, kde a s akou pravdepodobnosťou časticu nájdeme. Ale to neplatí o hybnosti a energii. Voľná častica sa nachádza v stave s ostrou hodnotou hybnosti aj energie. Ba čo viac, Schrödingerova rovnica hovorí, že energia a hybnosť voľnej častice sú zviazané vzťahom

E = p2 / 2 m.

Ak vezmeme Schrödingerovu rovnicu ako postulát, vyplýva z neho, že energia a hybnosť častice spĺňajú vzťah klasickej mechaniky medzi energiou a hybnosťou. Je to dôležité, pretože kvantová mechanika musí pre "bežné" prípady dávať tie isté predpovede ako klasická mechanika, ktorá sa osvedčila vo veľmi širokom spektre javov. To, že Schrödingerova rovnica si vynucuje známy vzťah medzi energiou a hybnosťou, je akýsi záchytný bod poukazujúci na to, že naša kvantová mechanika má súvis s realitou, na akú sme zvyknutí.

No dobre. Schrödingerova rovnica je kvantovomechanickou verziou klasického vzťahu medzi energiou a hybnosťou. Ale klasická mechanika je nesprávna! Teória relativity, ktorá je primárnou náplňou tejto série blogov, hovorí, že hybnosť a energia sú zviazané vzťahom

E2 - p2 = m2. (pre jednoduchosť používam jednotky, v ktorých je rýchlosť svetla c=1)

Ľahko sa dá ukázať, že tento vzťah sa pre malé rýchlosti redukuje na vzťah klasický, ale celková energia nie je len kinetická energia, ale aj energia pokojová, ktorá je rovná hmotnosti (slávny vzťah E=mc2). Pre malé rýchlosti je kinetická energia daná klasickým vzťahom, ale pre väčšie rýchlosti sa značne líši. Ale aj pre nulovú hybnosť, kedy je kinetická energia nulová, je celková energia nenulová. Takže klasický a relativistický vzťah medzi energiou-hybnosťou sú kvalitatívne veľmi odlišné, hoci pre malé rýchlosti dávajú rovnaké výsledky (pokojová energia nie je mechanicky merateľná).

V minulom blogu sme naviazali na kovariantnosť fyzikálnych rovníc a povedali sme, že Schrödingerova rovnica kovariantná nie je. Pri prechode z jednej inerciálnej sústavy do druhej sa táto rovnica netransformuje správne, a preto nemôže byť správna. Tu vidíme jeden z prejavov tejto nekovariantnosti: Schr. rovnica dáva nesprávny vzťah medzi energiou a hybnosťou. Ten správny je daný teóriou relativity a Schr. rovnica ho nerešpektuje.

 

11. Konflikt medzi kvantovou mechanikou a relativitou

Aby sme si rozumeli, tento článok nie je kritikou Schrödingerovej rovnice. Keď hovoríme, že Schrödingerova rovnica je nesprávna, nemyslíme tým, že Schrödinger bol blbec (ako si to rôzni kritici myslia o Einsteinovi). Objav Schrödingerovej rovnice patrí bezpochyby k najväčším intelektuálnym výkonom v dejinách. K tomu treba tiež dodať, že tesne pred Schrödingerom dospel k odlišnej formulácii kvantovej mechaniky aj Heisenberg, ďalší z osvietených ľudí. Jeho formulácia je iná, ale ekvivalentná Schrödingerovej, dá sa však použiť aj vo všeobecnejších prípadoch. Obaja však sformulovali nerelativisticku verziu kvantovej mechaniky, len každý iným jazykom (ekvivalentnosť oboch formulácií dokázal...Schrödinger). Heisenberg neveril na reálnosť vĺn, Schrödinger (kto mu dal tak dlhé meno? už ma unavuje vypisovať ho) neveril na reálnosť častíc. Dnes hovoríme o dualite medzi vlnovým a časticovým opisom. Ale obaja dospeli k formulácii kvantovej mechaniky, ktorú bolo možné bezprostredne porovnať s experimentom, a súhlas bol ohromujúci! A je dodnes!!!

Ale ako sme minule vysvetlili, aj keby bol súhlas s experimentom dokonalý, museli by sme obe formulácie zavrhnúť ako principiálne nesprávne. Podľa teórie relativity sa totiž všetky fyzikálne rovnice musia transformovať v súlade s Lorentzovými transformáciami, čo o Schrödingerovej rovnici neplatí. Medzi ľudí, ktorí sa zaslúžili o zovšeobecnenie Schrödingerovej rovnice na relativitu patria Heisenberg, Dirac, Pauli, neskôr Feynman, a mnohí ďalší, trošku menej známi. Ak som povedal, že Schrödingerova rovnica patrí k najväčším intelektuálnym výkonom, vzdávam tým hold Schrödingerovi. Objavil to, čo bolo v jeho dobe možné, a jeho výsledok je fascinujúci. Avšak to, čo prišlo po ňom, mám na mysli zjednotenie špeciálnej relativity a kvantovej mechaniky, považujem za triumf ľudského umu a defilé matematickej krásy prírody. Iste, nejde o záverečné slovo, a snáď v blízkej budúcnosti sa dočkáme ešte niečoho úžasnejšieho.

Patrí k nádherným paradoxom, že Schrödinger sa najprv snažil odvodiť rovnicu platnú aj v teórii relativity. Odvodil jednoduchú rovnicu, ktorá sa dnes nazýva Kleinova-Gordonova rovnica (v ruskej literatúre Fokova :) ). Táto rovnica je relativisticky kovariantná, a rešpektuje relativistický vzťah medzi energiou a hybnosťou. Keď z nej ale Schrödinger vypočítal energetické spektrá atómov, zistil, že sa líši od experimentálnych údajov. Preto ju zavrhol a publikoval nerelativistickú verziu, ktorá dávala lepšie predpovede. Vedel pritom, že správne rovnice musia byť relativistické, ale nevedel uviesť relativitu do súladu so svojimi predstavami. Niet divu!

 

Povedzme si teraz na konflikty medzi kvantovou teóriou ako ju sformulovali Erwin Schrödinger a Werner Heisenberg a teóriou relativity Alberta Einsteina.

a) Nekovariantnosť Schrödingerovej rovnice. Fyzikálne zákony musia mať pre všetkých pozorovateľov rovnaký tvar, ale Schrödingerova rovnica pri prechode z jednej inerciálnej sústavy do druhej svoj tvar mení. Existujú teda preferované sústavy, v ktorých má Schrödingerova rovnica svoj tvar, a iné sústavy, v ktorých je jej tvar odlišný. Podľa princípu relativity preferované sústavy neexistujú, takže Schrödingerova rovnica je nesprávna. Navyše, Schrödingerova rovnica nerešpektuje relativistický vzťah medzi energiou a hybnosťou. O tom sme už hovorili.

b) Princíp neurčitosti. Podľa Heisenbergovho princípu neurčitosti nikdy nemôžeme presne odmerať hybnosť aj polohu častice súčasne. Súčin neurčitosti hybnosti a polohy je zdola ohraničený násobkom Planckovej konštanty, čo sa vyjadruje vzťahom

dp * dx > h/2,

kde dp je neurčitosť v meraní hybnosti, dx neurčitosť v meraní polohy, a h je (redukovaná) Planckova konštanta. Ak teda meriame polohu, chceme aby sa dx blížilo k nule. To ale znamená, že dp musí ísť do nekonečna. Naopak, presným meraním hybnosti znižujeme dp k nule, ale dx musí ísť do nekonečna.

Predstavme si, že meriame hybnosť a polohu elektrónu. Celý proces merania trvá čas dt a rýchlosť elektrónu sa pri meraní zmení o dv. Potom neurčitosť v polohe elektrónu bude dx = dv*dt. Z princípu neurčitosti dostaneme

dp*dv*dt > h/2.

V čom je problém? V tom, že podľa teórie relativity je rýchlosť svetla c hraničná, najvyššia možná. Preto zmena rýchlosti dv nemôže byť väčšia než c! V krajnom prípade, kedy dv = c, dostaneme z posledného vzťahu

dp*dt > h / 2c.

Tento vzťah hovorí, že hybnosť nikdy nemôžeme zmerať s ľubovoľnou presnosťou! Ak by totiž dp šlo k nule, muselo by dt nadobúdať nekonečne veľké hodnoty, čo znamená, že proces merania by musel trvať nekonečne dlho!

Všimnime si, že v pôvodnej verzii princípu neurčitosti sme v princípe mohli zmerať hybnosť s ľubovoľnou presnosťou, ale museli sme sa zmieriť s tým, že čím presnejšie odmeriame hybnosť, tým nepresnejšia bude naša znalosť polohy. Tu ale vidíme, že podľa teórie relativity to tak byť nemôže. Aby sme presne zmerali hybnosť, museli by sme počkať nekonečne dlhý čas, čo je technicky dosť ťažko realizovateľné.

Vidíme, že relativita útočí na základné vzťahy kvantovej teórie!

 

c) Ekvivalencia hmotnosti a energie. Ako každý vie, z teórie relativity vyplýva (vraj naznámejšia rovnica 20. storočia) vzťah E = m c2. Je to špeciálny prípad vzťahu medzi energiou a hybnosťou, o ktorom sme už hovorili, kedy je hybnosť rovná nule, teda častica odpočíva v pokoji. Tento vzťah ukazuje, že aj keď je častica v pokoji, má tzv. pokojovú energiu, ktorá súvisí s jeho hmotnosťou, ale je veľmi veľká, pretože c (rýchlosť svetla) je veľmi veľké číslo, a jeho druhá mocnina c*c ešte omnoho väčšie.

Teória relativity pripúšťa procesy, v ktorých, ľudovo povedané, sa hmotnosť premieňa na energiu a naopak. Vtedy to ešte nebolo známe, ale dnes vieme, že elementárne častice môžu vznikať a zanikať, pričom sa ale vždy zachováva celková energia. Tak napríklad elektrón má svoju časticu, antielektrón alebo pozitrón. Pri zrážke elektrónu s pozitrónom obe častice zaniknú, ale ich pokojová energia zaniknúť nesmie. Preto vzniknú dva fotóny, ktoré majú nulovú hmotnosť, ale ich energia je presne rovná pôvodnej pokojovej hmotnosti elektrónu a pozitrónu.

Avšak pôvodná kvantová mechanika takéto procesy nepozná. Podľa Schrödingerovej rovnice je počet častíc vždy konštantný, častice nemôžu vznikať ani zanikať. Pritom už elementárne procesy v atóme sú spojené so vznikom a zánikom. Vezmime si len elektrón obiehajúci okolo jadra atómu. Keď na neho dopadne fotón, tento fotón zaniká a svoju energiu predá elektrónu, ktorý vystúpi na vyššiu energetickú hladinu. Po nejakom čase môže elektrón zase spontánne vyžiariť nový fotón a klesnúť na hladinu pôvodnú, zatiaľ čo fotón opustí atóm. Tento základný proces nie je možné v kvantovej mechanike na báze Schrödingerovej rovnice korektne popísať. V nerelativistickej kvantovej mechanike nie je miesto pre vzájomné premeny častíc. To je dosť vážny nedostatok.

(poznámka. Niektorí čitatelia, ktorí už o kvantovej mechanike niečo vedia, môžu mať pocit, že nehovorím pravdu. V kvantovej mechanike existuje formalizmus kreačných a anihilačných operátorov a tieto operátory slúžia na vytváranie a ničenie častíc. Napríklad obyčajný harmonický oscilátor možno chápať ako sústavu častíc zvaných fonóny. Zvyšovanie energie oscilátora sa rovná zvyšovaniu počtu fonónov pomocou kreačného operátora. Takže aj v kvantovej mechanike môžu častice vznikať, ale ide len o matematickú operáciu, o pôsobenie operátora na stavový vektor. To, čo tvrdím je, že podľa rovníc kvantovej mechaniky sa počet častíc nemení. Keď pripravíte nejaký stav s určitým počtom častíc a tento stav sa bude vyvíjať v čase, počet častíc sa nezmení. Niečo iné je, že existuje transformácia, ktorá počet častíc zmení, niečo iné je, či sa takáto transformácia vyskytne v skutočnom časovom vývoji systému. Podľa kvantovej mechaniky nevyskytne.)

 

Toto sú asi najdôležitejšie konflikty medzi teóriou relativity a kvantovou mechanikou: nekovariantnosť Schrödingerovej rovnice a nesprávny vzťah medzi energiou a hybnosťou z nej plynúci, nekompatibilita princípu neurčitosti a existencie hraničnej rýchlosti, a nakoniec neschopnosť kvantovej mechaniky popísať premeny elementárnych častíc.

 

12. Spin


Je ešte jeden zaujímavý problém, ktorý zdanlivo s relativitou nesúvisí, a to problém spinu. Ukázalo sa, že elektrón má okrem hmotnosti a elektrického náboja ešte jednu vlastnosť, a to tzv. vlastný moment hybnosti, spin. V klasickej mechanike prisudzujeme moment hybnosti telesám, ktoré rotujú okolo nejakej osi, elektrón však okolo žiadnej osi rotovať nemôže, pretože je to (zdá sa) bodová častica. Pojem rotácie elektrónu okolo svojej osi nemá zmysel. Prečo teda takáto analógia?

Uvažujme najprv klasicky, takže predpokladáme, že pojem polohy a trajektórie elektrónu má dobrý zmysel. Predstavme si nehybný elektrón v nejakom vonkajšom magnetickom poli. Ako bude toto pole na elektrón vplývať? Nijak. Magnetické pole na nehybnú nabitú časticu nepôsobí. Predstavme si však ďalej, že tento elektrón bude obiehať okolo nejakého centra, napríklad jadra atómu. Ale o jadro nám teraz nejde, takže jednoducho predpokladajme, že elektrón sa z nejakých dôvodov pohybuje po kružnici. Táto kružnica obopína kruhovú plôšku. Takáto sústava pozostávajúca z obiehajúcej nabitej častice sa nazýva elementárny dipól a chová sa ako magnet. Odtiaľ slovo dipól: magnet má dva póly, severný a južný. Keď dipól vložíme do magnetického poľa, pôsobiaca sila poľa na dipól už nebude nulová, ale bude sa snažiť zorientovať dipól tak, aby jeho plocha bola kolmá na magnetické pole.

Pretože elektrón obieha okolo stredu, prisudzujeme mu v mechanike tzv. moment hybnosti, čo je v podstate súčin jeho hybnosti a polomeru kružnice, po ktorej obieha. Táto veličina vyjadruje "mieru rotácie" elektrónu okolo centra. V kvantovej mechanike sa pre tento druh momentu hybnosti zavádza označenie orbitálny moment hybnosti, pretože súvisí s obiehaním elektrónu po jeho orbite, obežnej dráhe. Kvôli svojmu elektrickému náboju však elektrón pri obiehaní budí aj magnetické pole a preto tvorí elementárny dipól, ktorý sa chová ako magnetka. Veličina, ktorá popisuje magnetické vlastnosti dipólu sa nazýva magnetický moment.

Dôležité je, že moment hybnosti a magnetický moment spolu súvisia jednoduchým vzťahom (neuvádzam). Ak zmeriame magnetický moment dipólu, vieme povedať aj to, aký je jeho moment hybnosti. Takže možno povedať, že mechanický moment hybnosti má vplyv na magnetické vlastnosti dipólu.

To prekvapenie, ktoré fyzikov čakalo bolo v tom, že elektrón má nejaký magnetický moment aj keď sa v magnetickom poli nepohybuje. Ako sa o tom možno presvedčiť? Rozhodne nie tak, že nehybný elektrón vložíme do magnetického poľa. Vtedy, ako sme povedali, sa nestane nič. Dokonca aj keď elektrón má nejaký vlastný magnetický moment, nijako sa to neprejaví. Videli sme, že magnetické pole má tendenciu orientovať dipól tak, aby bola jeho plocha kolmá na magnetické pole. Na elektróne však nepoznáme, či sa nejako otočil, pretože je to bodová častica a o jeho orientácii (priestorovej!)  nemá zmysel hovoriť.

V slávnom Sternovom-Gerlachovom pokuse sa títo páni snažili merať magnetické momenty rôznych častíc. Tieto častice púšťali do oblasti silne nehomogénneho magnetického poľa, id est poľa, ktoré sa bod od bodu rýchlo mení. Detaily nie sú dôležité, ale pre nás je podstatné, že ak má elektrón nejaký vlastný magnetický moment, tak v nehomogénnom poli sa to prejaví. Nepoznáme síce, či sa elektrón v homogénnom poli nejako zorientuje, ale v nehomogénnom poli sa bude elektrón s magnetickým momentom pohybovať inak než bez magnetického momentu. Takže ak má elektrón magnetický moment, v nehomogénnom poli sa to prejaví.

Sternov-Gerlachov pokus ukázal, že elektrón skutočne magnetický moment má a nazýva sa vlastný magnetický moment. Aj elektrón, ktorý neobieha po kružnici sa chová ako malá magnetka. V klasickej mechanike sme videli, že magnetický moment dipólu je dôsledkom obiehania elektrónu, teda dôsledkom momentu hybnosti. Analogicky, aj v prípade vlastného magnetického momentu usudzujeme, že je dôsledkom nejakého vlastného momentu hybnosti elektrónu. Tento vlastný moment hybnosti sa nazýva spin. Slovo spin označuje rotáciu okolo vlastnej osi, ale ako sme povedali, v prípade elektrónu nemá zmysel hovoriť o rotácii kol vlastnej osi. Spin je nová fyzikálna veličina a prejavuje sa napríklad magnetickými vlastnosťami elektrónu. Vo fyzike skutočne boli snahy vysvetliť spin pomocou rotácie, ale k ničomu neviedli, len k problémom. Aj dnes sa často hovorí (dokonca nám to hovorili na strednej škole na chémii), že spin je rotácia elektrónu, ale to je zavádzajúce. Preto som sa snažil vysvetliť, odkiaľ sa súvis s rotáciou berie a prečo je zároveň nesprávne o rotácii hovoriť.

Sternov-Gerlachov pokus ale priniesol hneď dve prekvapenia. To prvé už máme za sebou: elektrón má spin, teda vlastný moment hybnosti. Ten nesúvisí s obiehaním elektrónu okolo jadra (orbitálnym momentom hybnosti) ale je to vlastnosť samotného elektrónu. Presvedčiť sa o existencii spinu môžeme skúmaním pohybu elektrónu v magnetickom poli.

Stern a Gerlach však zistili ešte niečo. A síce, že keď do svojej mašiny pustili zväzok elektrónov, tento zväzok sa rozštiepil na práve dva menšie zväzky. Prečo je to prekvapivé? Predstavme si, že rozžeravíme nejaké wolfrámové vlákno a z neho začnú vyletovať elektróny. Tieto elektróny budú mať rôzne rýchlosti, rôzne smery a rôzne spiny. Vhodným zariadením môžeme náhodne vyletujúce elektróny usmerniť do jedného úzkeho zväzku a dokonca vieme zabezpečiť, aby vo výslednom zväzku mali všetky elektróny približne rovnakú rýchlosť. Zámerne však neovplyvňujeme spiny, tie ostávajú náhodné.

Keď sa teraz elektróny budú pohybovať v nehomogénnom magnetickom poli, budú sa rôzne odchyľovať podľa toho, aký majú spin. Elektróny s menším spinom sa odchýlia menej, elektróny s väčším spinom sa odchýlia viac. Pretože v pôvodnom zväzku bolo veľa elektrónov so všetkými možnými spinmi, bude sa pôvodný úzky zväzok rozptyľovať a rozostrovať, pretože jednotlivé elektróny sa budú rôzne odchyľovať. Očakávame teda, že pôvodný ostrý zvázok sa postupne rozptýli.

Pokus však ukazuje, že to nie je pravda. Pôvodný úzky zväzok sa rozštiepi na dva nové úzke zväzky. To znamená, že spiny nemohli byť ľubovoľné, ako sme predpokladali, ale spin každého elektrónu môže mať len jednu z dvoch možných hodnôt. V zväzku mnohých elektrónov sú rovnomerne zastúpené obe možnosti, no viac možností nejestvuje. Preto sa elektróny budú v nehomogénnom poli odchyľovať len jedným z dvoch možných spôsobov. Zväzok sa nerozptýli, len sa rozštiepi na dve časti.

To ukazuje, že spin je ďalšia z kvantovaných veličín. Veľkosť spinu sa dá merať a ukazuje sa, že spin elektrónu má hodnotu h/2 alebo -h/2, kde h je Planckova konštanta. Stručne hovoríme, že spin elektrónu je plus alebo mínus jedna polovica.

Spin, ako sme povedali, je vlastný moment hybnosti. Moment hybnosti je vektorová veličina, čo znamená, že má určitý smer. V prípade elementárneho dipólu je smer momentu hybnosti (aj magnetického momentu) z definície kolmý na plochu dipólu. V prípade spinu žiadnu takúto definíciu nemáme. To, čo sa v experimente meria, nie je priamo spin, ale priemet spinu do určitej zvolenej osi.

Takže spin elektrónu je rovný 1/2, ale priemet spinu môže nadobúdať hodnoty +1/2 a -1/2. Spin majú aj iné častice. Protóny, neutróny aj elektróny majú spin 1/2. Pí-mezóny, alebo pióny, ktoré sprostredkúvajú silnú jadrovú interakciu v jadrách atómov, majú spin 0, takže aj priemet spinu môže byť len 0. Spin 0 má aj hypotetický Higgsov bozón. Spin nemusí byť vždy spojený s nábojom. Napríklad častica zvaná Z bozón je neutrálna, ale má spin 1. To znamená, že priemet spinu Z bozónu do určitej osi môže byť -1, 0, alebo jedna. Hypotetický gravitón by mal mať spin 2.

Častice teda spadajú do dvoch tried podľa hodnoty svojho spinu. Jednu triedu tvoria tzv. fermióny, ktoré majú poločíselný spin 1/2, 3/2, atď. Názov fermióny pochádza z toho, že častice s neceločíselným spinom sa riadia tzv. Fermiho-Diracovou štatistikou, ale o tom až značne neskôr. Priemet spinu fermiónu do určitej osi je tiež poločíselný, pre spin 1/2 sú možné hodnoty

- 1/2, +1/2

Pre spin 3/2 to bude

- 3/2, -1/2, 1/2, 3/2

atď. Všimnime si, že priemet spinu fermiónu nemôže byť nikdy nula.

Naopak, častice s celočíselným spinom sa nazývajú bozóny (Einsteinova-Boseho štatistika). Bozón so spinom 1 môže mať priemet spinu rovný

-1, 0, 1

Pre spin 2 sú povolené hodnoty

-2, -1, 0, 1, 2.

Výnimkou sú nehmotné častice, ktoré nemôžu nadobúdať spin nula. Napríklad fotón je bozón a má spin rovný jednej. Pretože však jeho hmotnosť je nulová, povolené spiny sú len

-1, 1.

 

 

Záver

Tak toľko by o spine samotnom stačilo. Schrödinger o spine v čase, keď publikoval svoju rovnicu, nevedel. Wolfgang Pauli však ukázal, že Schrödingerovu rovnicu je možné upraviť tak, aby zahrnovala to, čo je o spine známe. Pauli túto rovnicu zostavil tak, aby vyhovovala experimentálnym faktom o spine. Záhadou však bolo, odkiaľ sa spin berie, prečo vôbec častice majú spin. A prečo má práve také vlastnosti? Odpoveď na túto otázku je dôvodom, prečo o spine hovoríme v kontexte teórie relativity.

Ako uvidíme, Dirac sa snažil nájsť relativisticky korektnú alternatívu k Schrödingerovej rovnici. A uspel. Našiel rovnicu elektrónu, ktorá dnes nesie jeho meno (Diracovo, nie elektrónovo). Je relativisticky v poriadku, dáva lepšie predpovede než Schrödingerova, ale objavuje sa v nej automaticky spin! Vysvetliť spin Dirac vôbec nemal v úmysle, ale jeho rovnica existenciu spinu vynucuje a pripisuje mu práve tie vlastnosti, ktoré ukazuje aj experiment. Takto sa podarilo odvodiť existenciu spinu z požiadavky relativistickej kovariantnosti. Nie je to úžasné?

Ide to však ešte ďalej. Uvidíme, že existencia spinu je v istom zmysle dôsledkom geometrie Minkowského priestoročasu, s ktorým sme sa už zoznámili. Uvidíme, že snaha zosúladiť relativitu a kvantovku viedla k predpovedi antičastíc, vysvetleniu spinu či náboja a ich vlastností a k mnohým ďalším predpovediam.

Myslím, že už sme pripravení na to, aby sme sa po tejto ceste konečne vydali. Ja viem, že to sľubujem už ud druhého blogu, ale počas písania som si vždy uvedomil, že niektoré veci treba vysvetliť detailnejšie. Teraz už máme všetko, čo potrebujeme. Vieme, o čom je teória relativity a aká je jej geometrická interpretácia, i to, aké požiadavky relativita kladie na ostatné teórie. Vieme, ako sa popisuje stav systému v kvantovej mechanike a čo znamená popis stavu pomocou vlnovej funkcie. Vieme, čo je Schrödingerova rovnica a na čo slúži, aj to, prečo je nekompatibilná s relativitou.

V ďalšom článku začneme rovno snahami o relativistickú korekciu Schrödingerovej rovnice.

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

EKONOMIKA

Učiteľ, ktorý sa rád hral. Ako sa Milan Reindl stal dizajnérom Lego Technic

Nevyštudoval techniku ani dizajn. Napriek tomu sa stal jedným z jedenástich dizajnérov Lego Technic. Len vďaka tomu, že si rád z lega skladal veci, na ktoré nemal návod.

DOMOV

Smer chce byť politicky nekorektný aj robiť poriadky v osadách

Novými podpredsedami sú Blanár a Žiga.

SVET

Výbuchy pri štadióne v Istanbule zabili najmenej 13 ľudí

K explóziám došlo hodinu po zápase medzi Besiktasom a Bursasporom.


Už ste čítali?