Pointa
Z organizačných dôvodov začnem pointou celého článku. Presnejšie, načrtnem na začiatku tie najpodstatnejšie body celého výkladu a potom ich rozvediem do takého umeleckého...oného (citát z Lasicu a Satinského). Pojem energie vznikol v klasickej mechanike a od tej doby sa tak vžil v každodennej reči, že každý má intuitívnu predstavu o tom, čo to energia je. V klasickej mechanike a hlavne v neskoršej teórii poľa existuje presný spôsob, ako energiu čo najvšeobecnejšie definovať. Táto definícia sa opiera o teorémy Emmy Noetherovej, ktoré hovoria, že ak má študovaný systém nejakú symetriu, potom existuje veličina spojená s touto symetriou, ktorá sa zachováva. Konkrétne, ak veríme, že fyzikálne zákony sú v čase nemenné (hovoríme, že sú invariantné voči posunutiu v čase), Noetherovej veta zaručuje, že existuje určitá zachovávajúca sa veličina. Túto veličinu nazývame energia. Je to veľmi abstraktná, ale veľmi silná a užitočná definícia. Funguje v klasickej mechanike, ale aj v kvantovej a relativistickej mechanike, a čo je najdôležitejšie, funguje i v kvantovej teórii poľa, čo je spojenie kvantovej teórie a špeciálnej teórie relativity. Všetko toto článku podroobnejšie vysvetlím.
Ale v Einsteinovej teórii gravitácie, vo všeobecnej teórii relativity, je situácia iná. V tejto teórii geometria priestoru (priestoročasu) nie je pevne daná, ale odvíja sa od rozloženia hmoty v priestore. Tento vzťah zachycujú Einsteinove rovnice. Problém je, že Einsteinove rovnice sú fomulované tak, aby platili pre každého pozorovateľa, nezávisle na jeho polohe a pohybovom stave. To je síce prirodzená požiadavka, ale všeobecná relativita je jediná teória, ktorá ju spĺňa. Vedie to však k tomu, že Noetherovej teorémy sa nedajú použiť! Všeobecný priestoročas, ktorý je riešením Einsteinových rovníc, nemá vôbec žiadne symetrie a teda ani zodpovedajúce sa zachovávajúce sa veličiny. Alebo naopak. Pretože Einsteinove rovnice musia platiť v každej vzťažnej sústave, je akákoľvek transformácia sústavy z fyzikálneho hľadiska symetriou priestoročasu. Takže množina symetrií každého priestoročasu je tak široká, že neumožňuje žiadnu zmysluplnú definíciu energie.
Takže vo všeobecnej relativite nevieme povedať, čo je energia. Vieme, že gravitačné pole energiu (v intuitívnom zmysle) má, pretože existujú gravitačné vlny, ktoré energiu nesú, dokážu napríklad uviesť do pohybu sústavu častíc. Ale túto energiu nevieme lokalizovať, nevieme povedať, koľko energie je v ktorom bode priestoru. Tento problém sa nedá obísť a dôvody na to sú hlboké: je to dôsledok princípu ekvivalencie, základného kameňa tejto teórie.
Sú však špeciálne prípady, kedy pojem energie aj vo všeobecnej relativite má dobrý zmysel, a to vtedy, kedy priestoročas má nejakú symetriu. V niektorých prípadoch je zase možné definovať celkovú energiu priestoročasu, a to vtedy, ak je uvažovaný gravitujúci systém izolovaný, takže všetky zdroje gravitačného poľa sú rozmiestnené v konečnej oblasti. Matematicky hovoríme, že je možné definovať globálnu energiu asymptoticky plochého priestoročasu.
Ale najzaujímavejšie je, že fyzici veria, že by mohlo byť možné definovať tzv. kvázi-lokálnu energiu, teda nie energiu poľa v jednom bode, ale v nejakej konečnej oblasti, napríklad vo vnútri gule. A na tomto poli bolo vykonanej mnoho zaujímavej práce a bolo dosiahnutých mnoho zaujímavých výsledkov. Tak poďme na to...
Práca v klasickej fyzike (alebo "bez práce nie sú koláče")
Pojem energie sa v klasickej fyzike vynára skrze pojem práce. Zo skúsenosti vieme, že sila, ktorá pôsobí na teleso, ho uvedie do pohybu, hovoríme, že "sila koná prácu". Túto prácu v najjednoduchšom prípade definujeme ako súčin sily a dráhy, po ktorej sa teleso pod vplyvom sily posunulo. Píšeme
W = F s,
kde W je práca definovaná ako súčin pôsobiacej sily F a dráhy s. Toto však nie je všeobecná definícia práce. Prvá komplikácia spočíva v tom, že sila sa behom posúvania môže meniť, takže nemôžeme jednoducho vynásobiť silu a dráhu, ale musíme rozdeliť dráhu na veľké množstvo malých úsekov, na ktorých už silu považujeme za konštantnú. Takýto malý úsek označíme symbol ds, kde písmenko d znamená, že uvažovaná dráha je v limite nekonečne malá. Na tomto malom úseku môžeme považovať silu za konštantnú a vykoná sa nekonečne malá práca
dW = F ds.
Aby sme získali celkovú prácu na konečnom úseku, musíme všetky príspevky posčítavať a presný matematický spôsob, ako definovať súčet nekonečne malých prác sa nazýva integrál. Nechcem tu riešiť integrálny počet, takže vy, ktorí si už na integrály nepamätáte, netrápte sa, nie je to pre náš výklad dôležité. Ide len o to, že sila sa môže meniť, takže musíme posčítavať práce na malých úsekoch. Matematicky to zapisujeme symbolicky ako
Takže to je prvé zovšeobecnenie. To druhé, v tejto chvíli dôležitejšie, je to, že sila nemusí mať vždy smer posunutia.
Toto tvrdenie je väčšinou pre študentov šokujúce, a bohužiaľ väčšinou až na skúške. Môže sa stať, že sila pôsobí určitým smerom, a teleso sa pod jej vplyvom posunie iným smerom? Áno, je to možné, ba dokonca pomerne bežné. Predstavme si pohyb Zeme okolo Slnka. A pre jednoduchosť si predstavme, že sa Zem pohybuje po presnej kružnici. Ktorým smerom pôsobí sila? Predsa na spojnici Zem-Slnko. Teda zatiaľ čo Zem sa pohybuje po kružnici, sila, ktorá tento pohyb spôsobuje, má smer kolmý! Keby nebolo príťažlivej dostredivej sily Slnka, Zem by po priamke odletela niekam do vesmíru, presnejšie do aleluja. Ale pretože na ňu pôsobí príťažlivá sila od Slnka, pohybuje sa po kružnici, teda vo smere kolmom k tejto sile.
Akú prácu koná gravitačná sila, keď spôsobuje pohyb Zeme po kružnici? Ešte sme síce nezaviedli pojem energie, ale predčasne ho použijem. Intuitívne cítime, že ak by sa energia Zeme pri pohybe okolo Slnka zväčšovala, rýchlosť Zeme by bola stále väčšia a väčšia, takže by sa od Slnka postupne vzdaľovala. Naopak, ak by energia Zeme klesala, Zem by postupne padala po špirále smerom k Slnku. Takže ak sa Zem udržuje v stálej vzdialenosti od Slnka, musí jej energia byť konštantná. To znamená, že gravitačná sila Zemi ani neuberá ani nepridáva energiu, a teda práca, ktorú koná je nulová.
Inými slovami, ak je sila rovnobežná s posunutím, konaná práca je maximálna. Ak je naopak sila kolmá na posunutie, konaná práca je nulová. Práca teda závisí od uhla medzi silou a reálnym posunutím. Matematicky to vystihuje funkcia kosínus. Kosínus uhla nula je rovný jednej, kosínus pravého uhla je rovný nula. Pretože podobný závislosť od kosínu uhla sa vo fyzike a matematike objavuje často, dostala vlastný názov: skalárny súčin.
Dospeli sme teda k všeobecnej definícii práce, ktorú koná sila F, pod vplyvom ktorej sa teleso posunie o dr. Píšeme
Ešte raz zdôrazňujem, že oná bodka medzi F a dr znamená, že musíme vynásobiť veľkosť sily, veľkosť posunutia a kosínus uhla medzi nimi. Ak sú sila a posunutie rovnobežné, konaná práca je maximálna, ak sú kolmé, je nulová.
Kinetická energia v klasickej fyzike
Potom, čo sme zadefinovali prácu, môžeme prejsť k energii. Predstavme si teleso v stave kľudu, nehybné. Začne naň pôsobiť sila a po nejakom čase toto teleso nadobudne rýchlosť v. Tá sila, ktorá spôsobí nárast rýchlosti telesa z nuly na v samozrejme koná prácu. Ale akú veľkú? Vieme už, že práca vo všeobecnosti závisí na tom, aká veľká je tá sila, na akej dráhe pôsobí, ako sa s časom mení, a aký smer zviera s posunutím telesa. A vo všeobecnosti to tak naozaj je. Ukazuje sa ale, že ak sa zaujímame len o konečnú rýchlosť telesa, vykonaná práca na ničom z toho nezávisí, závisí len od konečnej rýchlosti. Takže je jedno, či teleso urýchľujeme malou silou dlhý čas, alebo veľkou silou krátky čas, nezáleží na tom, ako sa mení smer sily. Ak je však počiatočná rýchlosť telesa nulová a na konci má rýchlosť v, vykonaná práca je vždy rovnaká. Jednoduchý výpočet ukazuje, že vykonaná práca je
kde m je hmotnosť telesa a v jeho konečná rýchlosť (ak bolo urýchľované zo stavu pokoja). Tento vzťah poznáme už zo strednej školy, ale tam sa obvykle neukazuje odvodenie tohto vzťahu v úplnej všeobecnosti.
Zaujímavé je to, že ak vidíme teleso pohybujúce sa rýchlosťou v, nemusí nás zaujímať, ako sa do tohto stavu dostalo: vieme, že pri jeho urýchlení musela byť vykonaná práca W. Preto je užitočné zaviesť pojem kinetická energia (pre pracujúcu menšinu uvádzam slovenský preklad:pohybová energia). Teleso, ktoré sa pohybuje rýchlosťou v, má z definície kinetickú energiu rovnú
Všimnite si, že tento pojem má zmysel len preto, že vykonaná práca nezávisí od spôsobu, akým bolo teleso urýchlené. Keď má raz rýchlosť v, musela byť vykonaná práca veľkosti Ek. Inak by sme nemohli hovoriť o pohybovej energii, pretože by sme museli špecifikovať aj to, ako konkrétne sa teleso na danú rýchlosť urýchlilo. Tým by sa pojem kinetickej energie stal bezpredmetným.
Hlavné posolstvo tejto sekcie je toto. Teleso, ktoré sa nachádza v stave kľudu, nepohybuje sa, má nulovú pohybovú energiu. Aby sa začalo pohybovať nejakou rýchlosťou, musí naň pôsobiť sila. Ak sa teleso urýchli na rýchlosť v, musela byť vykonaná práca veľkosti Ek. Preto hovoríme, že teleso má kinetickú (pohybovú) energiu. Zatiaľ je to len vec definície a jediné netriviálne tvrdenie je, že kinetická energia nezávisí od toho, ako sa teleso do stavu s rýchlosťou v dostalo (inak by tento pojem nemal zmysel). Všimnime si ešte jednu nuansu: netvrdíme, že pôsobiaca sila má vždy za následok urýchlenie telesa. Hovoríme len, že ak má teleso rýchlosť v, tak musela byť vykonaná práca EK.
Potenciálna energia
Keď som rozmýšľal o tejto sekcii, uvedomil som si, že vysvetliť pojem potenciálnej energie je o niečo ťažšie. No ale skúsim to. Zjednodušene môžeme povedať, že potenciálnu energiu teleso má, ak sa nachádza v silovom poli, ak naň pôsobí nejaká sila. Neskôr to trochu upresníme.
Predstavme si ako modelový príklad teleso upevnené na pružine. V klasickej fyzike sa takýto systém nazýva harmonický oscilátor, pretože keď pružinu rozkmitáme, jej výchylka sa mení ako funkcia sínus alebo kosínus, čo sú tzv. harmonické funkcie (mierna komplikácia v terminológii, že existuje ešte iná definícia harmonických funkcií, ktorá sa týka funkcií viac premenných; to hovorím len pre prípad, že by niekto nesúhlasil s tým, že sínus a kosínus sú harmonické funkcie).
Pružina sa vyznačuje tým, že keď ju natiahneme, pôsobí silou, ktorá sa snaží vychýlené teleso vrátiť do rovnovážnej polohy. V predchádzajúcom odseku sme vysvetlili, že ak sila pôsobí na teleso a urýchli ho na nejakú rýchlosť, toto teleso získa kinetickú, pohybovú energiu. Inými slovami, práca, ktorú pôsobiaca sila vykonala, sa premení na kinetickú energiu telesa.
Ale s pružinou to tak celkom nefunguje. Predstavme si nekmitajúcu pružinu. Začneme pôsobiť silou a natiahneme pružinu, vychýlime ju z rovnovážnej polohy. Pritom určite konáme prácu, pretože musíme prekonávať silu pružiny. Výpočet vynecháme (treba niečo zintegrovať), ale je veĺmi jednoduché ukázať, že ak pružinu vychýlime o vzdialenosť y, vykonaná práca je
kde konštanta k sa nazýva tuhosť pružiny.
Ale táto práca sa neprejaví tým, že bude mať pružina nejakú rýchlosť. Naopak, keď pružinu natiahneme do maximálnej výchylky (a stále ju držíme), má nulovú rýchlosť. Čo sa stalo s tou prácou, ktorú sme vykonali, keď teleso vo výsledku nemá žiadnu rýchlost?
Odpoveď sa stane zrejmou, keď vychýlenú pružinu pustíme, uvoľníme. Sila pružiny sa snaží uvoľnené teleso vrátiť do rovnovážnej polohy, takže teleso upevnené na pružine postupne zrýchľuje, až sa dostane do rovnovážnej polohy. Jednoduchý výpočet opäť ukáže, že až sa teleso vráti do rovnovážnej polohy, kde bude mať určitú rýchlosť, že jeho kinetická energia bude presne rovná rovná práci, ktorú sme pôvodne vykonali, aby sme teleso vychýlili. Inými slovami, kinetická energia telesa, ktoré sa z výchylky vráti do rovnovážnej polohy, je presne rovná práci W. Takže teleso, ktoré sme vychýlili z rovnovážnej polohy, malo nulovú kinetickú energiu. Ale pružina mu udelila kinetickú energiu rovnú vykonanej práci.
Vidíme teda, že práca, ktorú sme vykonali, sa síce neprejaví okamžite na pohybe pružiny, ale i tak je v pružine akosi uložená. Pružina zatiaľ nekoná prácu, ale môže, je tu tá možnosť, potencia. Preto tejto forme energie hovoríme potenciálna. Pôvod potenciálnej energie je teda v tom, že teleso sa nachádza v nejakom silovom poli, v tomto prípade je to sila pružiny, na ktorej je teleso pripevnené.
Zákon zachovania mechanickej energie
Pokračujme ďalej v našej analýze pružiny. Na začiatku sme mali pružinu v rovnovážnej polohe, to znamená, že samotná pružina nevyvíjala žiadnu silu a teleso na nej upevnené nekmitalo. Sústavu, na ktorú okolie nijak nepôsobí, nazývame izolovaná. Teda sústava pružina+teleso je na začiatku izolovaná a v kľude. Kinetická energia telesa je v tejto chvíli nulová, pretože sa nepohybuje, a jej potenciálna energia je tiež nulová, pretože v rovnovážnej polohe pružina nevyvíja žiadnu silu.
Ak ostane sústava pružina+teleso izolovaná, zostane teleso v rovnovážnej polohe navždy (niekedy sa táto časová perióda nazývala "dočasne" alebo "1 furt"). Aby sa začalo niečo diať, musíme na pružinu pôsobiť zvonku silou. To nie je sila pružiny, to je sila ktorú vykoná okolie sústavy pružina+teleso. Táto vonkajšia sila koná prácu a naša sústava v tejto chvíli nie je izolovaná. Už sme si vysvetlili, že vykonaná práca sa prejaví vychýlením pružiny do novej polohy. V tejto polohe má pružina potenciálnu energiu rovnú práci, ktorú vonkajšia sila vykonala. Keď teraz vonkajšia sila prestane pôsobiť, pružina sa uvedie do pohybu. Od tejto chvíle je sústava pružina+teleso znovu izolovaná.
Vo svojej maximálnej výchylke (tzv. amplitúde), tesne predtým ako vonkajšia sila prestane pôsobiť, má pružina nulovú kinetickú energiu, pretože sa ešte nepohybuje, ale má maximálnu potenciálnu energiu (pretože je v maximálnej výchylke, kde pružina pôsobí maximálnou silou). Po uvoľnení pružiny z amplitúdy sa pružiny vracia do rovnovážnej polohy a postupne klesá jej potenciálna energia. Keď sa pružina vráti do rovnovážnej polohy, jej potenciálna energia je zase nulová. Ale kinetická energia, ktorá bola v amplitúde nulová, sa naopak postupne zväčšuje, až v rovnovážnej polohe je zase maximálna. Intuitívne je zrejmé, a dá sa matematicky dokázať, že ak definujeme celkovú energiu ako súčet kinetickej a potenciálnej,
E = Ek + Ep,
tak táto celková energia sa v priebehu pohybu pružiny nemení. Pôvodná potenciálna energia sa postupne zmenšuje, ale kineticá rastie. Keď sa pružina dostane do rovnovážnej polohy, má maximálnu kinetickú energiu. Čo sa s ňou stane? Keby sa pružina v rovnovážnej polohe nepohybovala, zostala by v nej, ale pretože sa pohybuje, prejde rovnovážnou polohou a začne sa vychyľovať na opačnú stranu. Jej pohyb je však brzdený silou pružnosti, takže teleso na pružine začne zase spomaľovať. A dá sa ukázať, že sa zastaví v presne rovnakej vzdialenosti (amplitúde), ako bola pôvodná maximálna výchylka, ale na opačnej strane. Tam má zase nulovú kinetickú energiu. A tento proces sa donekonečna opakuje.
Podstatné je, že kinetická energia sa pri pohybe pružiny premieňa na potenciálnu a naopak, ale súčet oboch energií zostáva konštantný. Hovoríme teda o zákone zachovania mechanickej energie. Pod mechanickou energiou rozumieme súčet potenciálnej a kinetickej energie.
Celá táto úvaha je veľmi jednoduchá, ale ilustruje základný problém s energiou. Zmysel hovoriť o nej má len vtedy, keď sa zachováva. Spomeňme si, že základom definície potenciálnej energie bolo to, že ak vonkajšia sila vykoná prácu a vychýli pružinu, táto práca sa nestráca, ale neskôr sa premení na pohybovú energiu telesa na pružine. Keby to tak nebolo, nemal by pojem celkovej energie vôbec žiadny zmysel.
Nekonzervatívne sily
A ono to tak v prípade realistickej pružiny aj naozaj je: neexistuje spôsob, ako definovať pojem potenciálnej energie pre reálnu pružinu. V celej doterajšej úvahe som zamlčal jednu podstatnú vec. Uvažovaná pružina bola ideálna v tom zmysle, že na ňu nepôsobili žiadne trecie, odporové sily. Je ale zrejmé, že keby aj tá najideálnejšia pružina nekmitala vo vzduchu, ale bola ponorená napríklad v mede, kmitanie by sa rýchlo utlmilo. V tomto prípade by bol pohyb pružiny brzdený odporovu silou, ktorú vyvíja med, keď sa v ňom teleso pohybuje.
Ako sa to prejaví matematicky? Videli sme, že sila, ktorou pružina pôsobí na teleso na nej upevnené, závisí len od výchylky pružiny z rovnovážnej polohy. Ale ak vezmeme do úvahy odporové sily...od čoho závisí ich veľkosť? Od výchylky? Nie, závisí od rýchlosti. Ak sa teleso ponorené v mede nepohybuje, med nepôsobí žiadnou odporovou silou. A nezáleží od toho, ako veľmi pružinu natiahneme, ak ju držíme pevne v rukách a nepohybuje sa, odporová sila je nulová. Naopak, čím rýchlejšie sa teleso v mede bude pohybovať, tým väčšia bude aj brzdná sila -- to je bežná skúsenosť. Takže odporová sila závisí od rýchlosti.
Problém je, že ak nejaká sila závisí od rýchlosti, tak vykonaná práca vo všeobecnosti závisí od presného spôsobu, ako sa teleso pohybuje. Spomeňme si, že keď sme definovali kinetickú energiu, zdôraznili sme, že ak máme na začiatku teleso v kľude, a na konci teleso s rýchlosťou v, vykonaná práca nezávisí od spôsobu, ako sa teleso to stavu s danou rýchlosťou dostalo. Potom sme diskutovali potenciálnu energiu, a uviedli sme, že práca potrebná na vychýlenie pružiny do výchylky y je úmerná y2, zase nezávisle od toho, ako sa teleso do tejto výchylky dostalo.
Akonáhle však sila závisí od rýchlosti, všetko je inak. V prípade pružiny je jednoduché pochopiť prečo. Pripomínam, že uvažujeme pohyb pružiny v odporujúcom prostredí. Mohli by sme na pružinu pôsobiť veľmi veľmi malou silou, takže by sa pohybovala veľmi pomaly. Vtedy by bola odporová sila zanedbateľná (závisí od rýchlosti!), takže až by sa teleso dostalo do výchylky y, bola by vykonaná práca skoro rovná známemu výrazu (viď vyššie) .
Prísne vzaté, bola by o trochu väčšia, pretože odporová sila pôsobí aj pri malých rýchlostiach, ale v princípe by sme mohli silu zmenšovať tak, že by príspevok odporových síl k vykonanej práci bol menší, než akákoľvek zvolená hodnota.
Naopak, ak by sme na nehybnú pružinu začali pôsobiť veľmi veľkou silou, takže by teleso v krátkom čase získalo veľkú rýchlosť, okrem sily pružiny by sme museli prekonávať aj veľkú odporovú silu a vykonaná práca by bola oveľa väčšia než v prvom prípade. Zase, zvyšovaním sily podľa ľubovôle by sme mohli zväčšiť hodnotu vykonanej práce na ľubovoľnú hodnotu.
Intuitívne sa zdá zrejmé, že keď pôsobíme veľkou silou, vykonaná práca bude veĺká a naopak. Preto znovu zdôrazňujem, že takto to funguje, len ako pôsobiaca sila (v tomto prípade odporová) závisí na rýchlosti pohybu. V prvom prípade, kedy sme trecie a odporové sily zanedbali, to tak nie je. Dá sa exaktne ukázať, že ak sa teleso pohybuje len v jednom smere a sila nezávisí od rýchlosti, vykonaná práca od veĺkosti sily nezávisí, závisí len buď na konečnej rýchlosti alebo na konečnej výchylke. Nezávisí na ničom inom. Akonáhle vezmeme do úvahy sily, ktoré na rýchlosti závisia, vykonaná práca bude závisieť na všetkých detailoch pohybu.
Dôležitý dôsledok tejto úvahy je, že pojem potenciálnej energie je pre pružinu s trením nezmyselný, potenciálna energia sa nedá nijak rozumne definovať. Ak máme pružinu vo výchylke y, nedá sa povedať, aká práca bola vykonaná, tá totiž závisí aj od spôsobu, akým sa pružina do tejto výchylky dostala. Nestačí teda udať veľkosť práce, ale je nutné aj špecifikovať, ako presne sa pružina pohybovala. Energiu pružiny v danej polohe teda nemožno charakterizovať jediným číslom. Tým pádom pojem potenciálnej energie nemá zmysel.
Tu vidíme, že celková energia má zmysel len vtedy, ak sa zachováva. U pružiny kmitajúcej v mede sa určite energia (nech je to čo chce) nezachováva, pretože pohyb pružiny postupne ustane.
Ak sú pôsobiace sily závislé na rýchlosti, hovoríme, že sú nekonzervatívne, pretože nezachovávajú (nekonzervujú) energiu. Trecie a odporové sily sú typickým príkladom nekonzervatívnych síl. Naopak konzervatívne sily sú také, kde má zmysel definovať potenciálnu energiu a celková energia sa zachováva. Príkladom konzervatívnej sily je napríklad sila ideálnej pružiny, u ktorej zanedbáme trecie a odporové sily prostredia.
Otázka na zamyslenie
Znamená to, že "idealizované" polia sú tie, ktoré energiu zachovávajú, a skutočné, reálne polia túto vlastnosť nemajú? Stredoškolský učiteľ by na túto otázku odpovedal "nie". Ale správna odpoveď znie "áno". V prírode sú všetky realistické polia nekonzervatívne. Toto je trochu kontroverzný výrok, ale v rámci línie úvah, ktorú tu prezentujem, je to pravda. Skutočné polia sú nekonzervatívne v tom zmysle, že pre ne nejde definovať pojem potenciálnej energie.
Ale! Niektoré polia sa ako konzervatívne tvária. Napríklad gravitačné pole, tak ako ho popísal Newton, je konzervatívne. Newtonov zákon má širokú škálu platnosti a teda aj pojem gravitačnej potenciálnej energie je často veľmi užitočný. Ale gravitácia je lepšie popísaná Einsteinovou teóriou relativity, a tam to začína byť omnoho komplikovanejšie a zaujímavejšie.
Avšak v ďalšom článku začneme trochu jednoduchším prípadom a to je elektromagnetické pole. Ak je toto pole budené sústavou nehybných nábojov, dá sa popísať Coulombovým zákonom a podľa neho elektrostatické pole je konzervatívne. Ale keď si vezmeme realistický prípad, kedy sa náboje pohybujú, výsledné pole konzervatívne nie je. Prekvapivo však v prípade elektromagnetického poľa existuje veľmi jednoznačný spôsob, ako definovať jeho energiu. A tento spôsob je blízky tomu, ako sme zaviedli potenciálnu energiu v prípade pružiny: ak sa koná práca, je to preto, že pole odovzdáva svoju energiu. Ale predsa toto pole nie je konzervatívne v tom zmysle, ako sme to definovali v tomto článku. To nás donúti na hlbší pohľad na vec a uvidíme, že správna a všeobjímajúca definícia pojmu energie je práve cez Noetherovej vety, ktoré sme spomenuli hneď v úvode článku. Ešte neskôr si vysvetlíme podrobne, prečo Noetherovej vety zlyhávajú v prípade Einsteinovej teórie gravitácie, všeobecnej teórie relativity.
