Energia vo fyzike - pokračovanie

Autor: Martin Scholtz | 22.8.2013 o 0:00 | (upravené 22.8.2013 o 11:02) Karma článku: 4,72 | Prečítané:  1652x

Toto je pokračovanie nedávneho článku o energii vo fyzike. Minule sme sa museli prehrýzť cez vysvetlenie, ako sa pojem energie objavuje v klasickej fyzike v mechanike. Dnes sa konečne pozrieme na zaujímavejšie veci, a síce na to, ako je to s energiou v klasickej teórii gravitácie a v teórii poľa elektromagnetického.

 

Repete: kinetická a potenciálna energia

V ostatnom článku sme zaviedli pojem kinetickej a potenciálnej energie. Kinetickú energiu teleso má, ak sa pohybuje a táto energia sa podľa definície rovná práci, ktorú sme museli vykonať, aby sa teleso zo stavu kľudu dostalo do stavu s rýchlosťou v. Zdôraznili sme, že veľkosť tejto kinetickej energie (teda vykonanej práce) nezávisí od toho, ako sa v čase pohyb telesa menil, ani od veľkosti pôsobiacich síl. Dôležitá je len konečná rýchlosť v (a hmotnosť telesa m) a veľkosť kinetickej energie je daná vzťahom známym zo strednej školy,

eq1.gif

V klasickej mechanike je teda kinetická energia vždy dobre definovaná.

Potom sme zaviedli aj pojem potenciálnej energie, ale tam to bolo zložitejšie. Povedali sme, že potenciálnu energiu teleso má, ak sa nachádza v nejakom silovom poli a samotnú potenciálnu energiu sme zaviedli ako prácu, ktorú toto silové pole koná. Pojem energie je teda vždy spojený s pojmom práca. Význam potenciálnej energie sme si detailne vysvetlili na príklade s pružinou.

Ale zároveň sme upozornili na to, že potenciálnu energiu môžeme definovať len ak pôsobiace sily nezávisia od rýchlosti. Sila pružiny je takou silou: pružina pôsobí silou, ktorá je závislá len na výchylke pružiny z rovnovážnej polohy, ale nezávisí na tom, ako rýchlo sa teleso upevnené na pružine pohybuje. Naopak, ak by sme uvažovali aj trecie (odporové) sily, ktoré závisia od rýchlosti, vykonaná práca bude vždy závislá nie len na výchylke, ale aj na spôsobe, akým sa pružiny do tejto výchylky dostala. V takomto prípade sa pojem potenciálnej energie zaviesť nedá.

Sily v prírode sme teda rozdelili na dva druhy: konzervatívne a nekonzervatívne.  Konzervatívne polia majú túto vlastnosť. Práca, ktorú pole vykoná pri premiestnení telesa z bodu A do bodu B, nezávisí od trajektórie, po ktorej sa teleso pohybovalo, len od začiatočného bodu A a konečného bodu B. Všimnite si, že to znamená, že ak sa teleso vráti z bodu A naspäť do bodu A, vykonaná práca je nutne nulová. Pre nekonzervatívne polia to neplatí a podľa vyššie uvedeného to znamená, že pôsobiace sily závisia aj od rýchlosti pohybujúceho sa telesa.

Vyjasnili sme si tiež, že ak je pole konzervatívne, celková energia telesa pohybujúceho sa v tomto poli sa nemení, je konštantná. Na príklade pružiny sme videli, že jej kinetická energia sa premieňa na potenciálnu a naopak, ale súčet oboch je vždy to isté číslo.

Hoci je pojem konzervatívneho poľa veľmi užitočný (okrem iného preto, že má pár užitočných matematických vlasntostí, ktoré zjednodušujú výpočty), článok sme posledne zakončili tvrdením, že konzevratívne sily v prírode neexistujú. Poďme sa teda pozrieť, aké že to existujú v prírode sily a na to, či sú konzervatívne.

 

Newtonova teória gravitácie

Gravitácia je historicky prvá základná prírodná sila popísaná matematicky. Tento veľký objav je spájaný s Isaacom Newtonom a jeho gravitačný zákon sa učíme na strednej škole (pokiaľ nejaký minister z učebných osnov nevyškrtne matematiku aj fyziku). Gravitačná sila, ako ju popísal Newton, je konzervatívna. To znamená, že ak sa teleso presunie z bodu A do bodu B pod vplyvom gravitačnej sily, gravitačné pole vykoná prácu, ktorá nezávisí od trajektórie, takže môžeme definovať potenciálnu energiu a celková energia telesa pohybujúceho sa v gravitačnom poli je konštantná.

Uvažujme napríklad pohyb Zeme okolo Slnka a predstavme si najprv, že sa Zem pohybuje po presnej kružnici. Jej vzdialenosť od Slnka sa nemení, takže jej potenciálna energia je konštantná a preto aj kinetická energia musí byť konštantná (aby bol konštantný ich súčet). Keďže je potenciálna energia konštantná, gravitačné pole pri tomto pohybe nekoná prácu. Spomeňme si, že keď sme v minulom článku zavádzali pojem práce, poukázali sme na to, že vo všeobecnosti, ak je sila kolmá na smer pohybu, práca sa nekoná. A skutočne, toto je tento prípad. Gravitačná sila pôsobí smerom k Slnku, kdežto Zem sa pohybuje v kolmom smere.

V skutočnosti sa ale Zem nepohybuje po presnej kružnici, ale po elipse (v skutočnosti je to ešte trochu zložitejšie, ale to teraz neacháme bokom). Pretože sa vzdialenosť Zeme od Slnka mení, mení sa aj jej potenciálna energia. Ale nakoľko platí zákon zachovania celkovej energie musí sa odpovedajúcim spôsobom meniť aj kinetická energia. Keď je Zem od Slnka ďalej, je väčšia jej potenciálna energia, takže kinetická energia sa musela zmenšiť. A naozaj, vo väčších vzdialenostiach sa Zem pohybuje pomalšie. Keď je Zem pri Slnku bližšie, jej potenciálna energia je menšia a preto sa zväčší jej kinetická energia a Zem sa v blízkosti Slnka pohybuje rýchlejšie.

Takže podľa Newtonovej teórie je gravitačná sila konzervatívna. Newtonova teória sa dobre osvedčuje v pozemských podmienkach aj v rámci Slnečnej sústavy. Lenže je tu drobný problém. Dnes vieme, že Newtonova teória je nesprávna. V skutočnosti je gravitačné pole lepšie popísané Einsteinovou teóriou relativity a podľa nej gravitačné pole konzervatívne nie je. Lenže tu teraz výklad o gravitácii skončíme, pretože problém energie v teórii relativity je hlavným dôvodom spisovania tejto série článkov a dostaneme sa k nemu neskôr.

 

Elektromagnetické pole 1

Po gravitácii druhou základnou prírodnou silou, do ktorej skúmania sa ľudstvo pustilo, bola sila elektrická. Po úspechu Newtonovho gravitačného zákona sa ľudia pokúsili podobne popísať aj elektrické sily, výsledkom čoho je tzv. Coulombov zákon, ktorý je taktiež vyučovaný už na stredných školách. Zaujímavé je, že matematicky je tento zákon úplne zhodný s Newtonovým zákonom, len musíme hmotnosti (zdroje gravitácie) nahradiť nábojmi (zdrojmi elektrického poľa). To mimo iné znamená, že aj elektrické pole je konzervatívne presne v tom zmysle, ako gravitačné. Ak elektrické pole premiestni náboj z miesta A do miesta B, vykonáme prácu, ktorá nezávisí od trajektórie. Práca, ktorú koná elektrické pole sa v elektrotechnike nazýva napätie. Napätie medzi dvoma bodmi je teda práca, ktorú pole vykoná, keď prenesie náboj (jednotkový) z jedného bodu do druhého. Takže je elektrické pole konzervatívne?

No...má to zase háčik. Coulombov zákon ako sme ho opísali platí len vtedy, ak sa zdroje poľa nepohybujú a keď sa premiestňovaný náboj premiestňuje dostatočne pomaly. Pole budené nehybnými nábojmi nazývame elektrostatické. Ak sú náboje v rýchlom pohybe, Coulombov zákon neplatí a po konzervatívnosti nie je ani stopy. Preto sa fyzici snažili nájsť zákon pre silu medzi dvoma pohybujúcimi sa nábojmi. A neuspeli z veľmi fundamentálneho dôvodu.

Chcel by som zdôrazniť jednu vec. Uviedli sme, že Coulombov zákon (platný pre nehybné náboje) je matematicky zhodný s Newtonovým gravitačným zákonom. Preto sa na strednej škole hovorí, že medzi elektrickým poľom a gravitačným poľom existujú analógie. Lenže tieto analógie fungujú len pre newtonovskú gravitáciu a pre elektrostatické pole. Ale newtonovská teória nie je správna. A ani coulombovská teória nie je správna, ak sa náboje pohybujú. Takže aké analógie? Fascinujúce je, že ak opustíme obe teórie, coulombovskú aj newtonovskú, a dospejeme k správnym teóriam (Maxwellova teória elektromagnetického poľa a Einsteinova teória relativity), ukazujú sa medzi oboma poľami nové podobnosti a tie siahajú omnoho ďalej, než je formálna podobnosť Coulombovho a Newtonovho zákona.

No ale poďme späť. V newtonovskej gravitácii na seba telesá pôsobia okamžite. Keď sa zmení vzdialenosť Zeme od Slnka, okamžite sa zmení aj gravitačná sila pôsobiaca medzi nimi. Intuitívne cítime, že takýto popis asi nie je v poriadku. Ako môže Slnko okamžite pocítiť zmenu polohy 150 miliónov kilometrov vzdialenej Zeme? Nemôže. Ale prvýkrát si to ľudia uvedomili v súvislosti s elektromagnetizmom.

Dnešná predstava, zavedená Faradayom a matematicky podchytená Maxwellom, je, že náboje na seba nepôsobia okamžite a na diaľku. Elektrický náboj okolo seba vytvára pole, ktoré sa šíri priestorom konečnou rýchlosťou (rýchlosťou svetla). Až pole dospeje do miesta, kde sa nachádza iný náboj, pôsobí na tento náboj silou. Takže to nie je náboj, ktorý pôsobí na iné náboje, ale je to pole. A toto pole, keď už je raz vytvorené, existuje nezávisle na pôvodnom náboji, ktoré ho vytvorilo. Krásnou ukážkou toho, že je to pravda, je fakt, že vidíme vzdialené hviezdy. Svetlo, čo je elektromagnetické vlnenie, putuje aj milióny rokov vesmírom, než sa dostane až k nám. Keď vnímame obraz hviezdy, nie je to samotná hviezda, čo pôsobí na naše zmysly. Je to elektromagnetická vlna, ktorú táto hviezd pred miliónmi rokov vyslala. Tá hviezda už ani nemusí existovať, ale svetlo, ktoré k nám vyslala, už na ňu nie je nijak viazané a putuje milióny svetelných rokov, až vytvorí obraz v našich očiach.

Skutočnosť, že interakcie medzi telesami (nábojmi) je treba popisovať pomocou polí, je jeden z najväčších triumfov ľudského ducha. Komunikáciu na báze elektromagnetických vĺn dnes používame úplne všade, od rádia a televízie, cez mobily, diaľkové ovládače, až po navigáciu pomocou GPS. Ale ešte fascinujúcejšie je, že tieto procesy dokážeme matematicky pomerne jednoducho popísať. Ako vo svojich prednáškach hovorí fyzik Richard Feynman, objav zákonov elektromagnetizmu má na našu dnešnú spoločnosť ďaleko väčší vplyv, než koniec americkej občianskej vojny Sveru proti Juhu, z toho istého roku.

Po tejto filozoficko-historickej poznámke odbočujúceho charakteru sa vráťme k tomu, ako teda elektromagnetické pole popisujeme.

 

Elektrické pole

Predpokladajme, že máme priestor, v ktorom sa nachádza len elektrické pole a žiadne magnetické pole. Takéto čisto elektrické pole je nutne budené nábojmi v stave kľudu (pri akomkoľvek pohybe sa objaví aj pole magnetické). To že je v priestore elektrické pole sa prejaví tak, že ak sa v tomto priestore nachádza nejaký, tzv. pokusný alebo testovací náboj, pôsobí na neho sila. A ako sme povedali, takéto čisto elektrické pole môžeme vypočítať z Coulombovho zákon, ktorý udáva silu, akou elektrické pole pôsobí na testovací náboj. O tomto testovacom náboji predpokladáme, že je dostatočne malý, takže spätne neovplyvňuje pole, v ktorom sa nachádza. Takže ak máme zadané zdrojové náboje a vieme ich rozloženie v priestore, Coulombov zákon nám povie, aká veľká sila bude pôsobiť na ľubovoľný testovací náboj, ktorý do poľa vložíme.

Ale pretože nás v konečnom dôsledku zaujíma všeobecnejší prípad, nevšímajme si, ako konkrétne nami skúmané elektrické pole vzniklo,  skúmajme len jeho účinky. Máme pole, vložíme do neho testovací náboj a zisťujeme, aká sila naň pôsobí. Toto pole môže byť rôzne v rôznych bodoch priestoru, preto v ďalšom uvažujem vždy rôzne testovacie náboje, ktoré však majú stále tú istú polohu.

Prvé závažné zistenie je, že elektrická sila pôsobiaca v danom mieste na testovací náboj je tým väčšia, čím je tento náboj väčší. Ak je testovací náboj dvojnásobný, aj pôsobiaca sila je dvojnásobná. Vulgárne sa to nazýva priama úmera a vznešenejšie lineárna závislosť. Ak skúšobný  náboj označíme písmenom q, veľkosť výslednej sily môžeme zapísať vzťahom

F = q E,

kde E je konštanta úmernosti.

Druhé zistenie spočíva v tom, že sila pôsobiaca na náboj má vždy ten istý smer. Takže ak zväčšíme skúšobný náboj, zväčší sa aj sila pôsobiaca naň, ale smer sily ostáva rovnaký. Akurát ak zmeníme náboj na opačný (kladný na záporný alebo naopak), zmení sa smer sily na opačný. Takže presnejšie tvrdenie je, že vektor sily leží stále v tej istej priamke a jeho orientácia závisí na znamienku pôsobiaceho náboja.

Vzťah medzi silou a nábojom potom píšeme v tvare

F = q E,

kde tučné písmená znamenajú, že do úvahy berieme aj smer. Vektor E sa nazýva vektor elektrického poľa (alebo elektrická intenzita) a plne charakterizuje pole v danom bode. Ak poznáme vektor E, vieme vypočítať silu pôsobiacu na ľubovoľný náboj.

 

Magnetické pole

V predchádzajúcej sekcii sme popísali elektrické pole, ktoré je v okolí nehybnej nabitej častice. Ak sa však častice začnú pohybovať, vznikne v ich okolí ešte ďalšie pole, pole magnetické. Pohybujúce sa nabité častice registrujeme ako elektrický prúd, takže môžeme povedať, že zdrojom magnetického poľa sú prúdy (zatiaľčo zdrojom elektrického poľa sú náboje). Prejaví sa to tak, že ak umiestnime kompas do blízkosti vodiča, ktorým tečie prúd, tento kompas sa natočí smerom k vodiču s prúdom. To preto, že magnetické pole tvorené vodičom je typicky omnoho silnejšie než magnetické pole Zeme. Zdrojom magnetického poľa Zeme sú tiež prúdy a majú pôvod v zemskom jadre.

Oopis magnetického poľa je trochu komplikovanejší, než toho elektrického. Stále platí, že čím väčší je náboj, na ktorý magnetické pole pôsobí, tým väčšia je aj magnetická sila naň pôsobiaca. Okrem toho však magnetická sila závisí aj na rýchlosti. Ak je rýchlosť náboja nulová, je vždy nulová aj magnetická sila, nezávisle na sile poľa a veľkosti náboja. Preto môžeme pre veľkosť magnetickej sily písať

F = q v B,

kde q je znovu náboj pokusnej častice, v je jej rýchlosť a B je konštanta úmernosti - charakteristika poľa. Zaujímavejšie je to so smerom: magnetická sila je vždy kolmá na smer pohybu. To znamená, že pohybujúci sa náboj nie je v magnetickom poli urýchľovaný, ale vychyľovaný zo svojho smeru, takže má tendenciu pohybovať sa po kružnici.

Matematická operácia, ktorá vyjadruje skutočnosť, že sila je vždy kolmá na rýchlosť, sa nazýva vektorový súčin a značí sa symbolom x (krížik). Takže správny vzťah pre magnetickú silu je

eqn1.gif.

Presná definícia vektorového súčinu nie je dôležitá, ale vyjadruje toto: rýchlosť je vektor, teda má smer aj veľkosť. Podobne magnetické pole môžeme charakterizovať vektorom B, ktorý má tiež veľkosť i smer. Magnetická sila je potom kolmá súčasne na rýchlosť i vektor B.

Podobne ako pri elektrickom poli, vo vektore B je zakódované všetko o magnetickom poli v danom bode. Tento vektor sa nazýva vektor magnetického poľa (alebo magnetická indukcia). Keď poznáme vektory elektrického a magnetického poľa, vieme vypočítať silu, ktorá bude pôsobiť na ľubovoľný náboj pohybujúci sa rýchlosťou v. Celková sila je súčtom elektrickej a magnetickej, takže výsledný vzťah pre silu pôsobiacu na nabitú časticu je

lorentz.gif.

Túto silu nazývame Lorentzova sila.

Druhá, a podstatne zaujímavejšia otázka je, ako vypočítať vektory elektrického a magnetického poľa. Odpoveďou sú slávne Maxwellove rovnice, ktoré tu pre neúplnosť neuvádzame, pretože to teraz nie je podstatné. Potrebujeme len vedieť, že ak máme zadané náboje a prúdy, vieme z Maxwellových rovníc vypočítať elektrické i magnetické pole a vzťah pre Lorentzovu silu nám potom hovorí, ako tieto polia spätne pôsobia na náboje a prúdy. Jedná sa teda o previazanú sústavu rovníc a v realistických zložitých situáciách ich väčšinou nevieme riešiť. To platí aj pre Newtonove pohybové zákony mechaniky (že ich väčšinou nevieme riešiť), ale u elektromagnetického poľa je jedna komplikácia navyše. Polia samotné sa šíria rýchlosťou svetla, takže trvá určitý čas, než dorazia z miesta A do miesta B. To znamená, že pohyb daného náboja nie je ovplyvnený okamžitou polohou ostatných nábojov, ale je ovplyvnený týmito nábojmi v určitom skoršom čase. Preto je problém riešiť úplnú sústavu pohybových rovníc aj na počítači: je nutné nejak vhodne zvoliť počiatočné podmienky a to môže byť dosť komplikované.

Venovali sme v tejto časti dosť veľa pozornosti opisu elektrických a magnetických polí. Dôvod pre toto odbočenie spočíva v tom, že sme jednak chceli ukázať, že zavedenie pojmu poľa je vhodnejšie na opis interakcie nábojov a hlavne preto, že podľa Einsteinovej teórie je gravitačné pole oveľa viac podobné Maxwellovej teórii elektromagnetického poľa než klasickému Newtonovmu gravitačnému zákonu.

 

Energia elektromagnetického poľa

Vráťme sa teda k energii. Už v minulom článku sme vysvetlili, že elektromagnetické pole nie je v pravom zmysle konzervatívne. Ak v danom poli premiestnime náboj z miesta A do miesta B, vykonaná práca závisí od cesty, po ktorej náboj premiestňujeme. Nemôžeme teda zaviesť pojem potenciálnej energie tak ako sme ho v minulom článku zaviedli.

Ale pojem kinetickej (pohybovej) energie má stále dobrý zmysel. Ako sme minule vysvetlili, kinetická energia závisí len od rýchlosti a hmotnosti častice. Čo sa asi tak stane, keď vložíme do poľa nabitú časticu s nenulovou rýchlosťou? V najvšeobecnejšom prípade na ňu bude pôsobiť Lorentzova sila (teda elektrická + magnetická) a spôsobí urýchľovanie alebo spomaľovanie častice. Ale ak častica zrýchľuje, jej kinetická energia sa zväčšuje. To znamená, že niekto musí konať prácu. Kto? Najprirodzenejšia interpretácia je, že túto prácu koná pole. Ale keď pole koná prácu, teda dodáva častici energiu, musí túto energiu naopak pole strácať. A keď energiu stráca, muselo už predtým nejakú mať. Takto prirodzene dospievame k záveru, že samotné elektromagnetické pole je nositeľom energie.

Zo vzťahu pre Lorentzovu silu vieme vypočítať, akú prácu pole koná a použitím Maxwellových rovníc vieme túto prácu vyjadriť pomocu elektrického poľa a magnetického poľa. Avšak tento výpočet zároveň ukazuje, že okrem energie musíme zaviesť ešte pojem hustoty energie. Skúsime vysvetliť, prečo.

Kým častice v klasickej mechanike sú vždy lokalizované v bode (alebo veľmi malej oblasti), pole sa rozprestiera v celom priestore. Je to podobné, ako vlny šíriace sa na hladine vody, napríklad vo forme kruhov. Ak budeme dostatočne dlho čľapkať do jedného bodu na hladine, celá hladina bude zvlnená a nedá sa povedať, že "vlna je tu" alebo "tam". Vlnenie dospeje do každého bodu na hladine a prejaví sa to tým, že výška hladiny sa bude periodicky meniť. Takže v tomto zmysle je pole rozprestené v celom priestore.

Ak teda hovoríme o energii poľa, musíme si uvedomiť, že to je energia poľa v celom priestore a do tejto energie prispieva pole v každom bode priestoru. Energii poľa v celom priestore hovoríme globálna alebo celková energia. Táto globálna energia je teda súčtom (presnejšie integrálom) príspevkoch vo všetkých bodoch priestoru. To, akou mierou prispieva daný bod do celkovej energie, nazývame hustotou energie a tu ju budem značiť symbolom w. Zjednodušene povedané, hustota energie sa udáva v jouloch (J) na meter kubický. Ak je hustota energie napríklad

w = 5 J/m3,

znamená to, že v každom metri kubistickom je energia 5 joulov. Takže napríklad v objeme 2 metre kubické je energia 10 joulov.

Ale pozor, hustota energie je výsostne lokálny pojem. Hoci hovoríme o hustote energie na meter kubický, hustota energie je charakteristika každého jedného bodu, nie objemu. Podobne je to s rýchlosťou. Keď povieme, že sa trpaslík pohybuje rýchlosťou 2 km/h (ak mu fúka vietor do chrbta), neznamená to, že sa skutočne musí pohybovať celú hodinu a prejde dva kilometre. Znamená to, že keby sa touto rýchlosťou pohyboval celú hodinu, tak by urazil dva kilometre. Ale v skutočnosti môže svoju rýchlosť meniť každú chvíľu. Keď pôjde po rovine, môže si držať konštantnú rýchlosť, ale keď pôjde z kopca, môže jeho rýchlosť stúpnuť aj na závratných 3 km/h, do kopca zase pôjde pomalšie, atď. Rýchlosť charakterizuje, ako rýchlo sa pohybuje trpaslík práve teraz, je to teda lokálna veličina. Urazená vzdialenosť je naopak globálna veličina a získame ju sčítaním malých úsekov, ktoré trpaslík absolvoval rôznymi rýchlosťami.

Rovnako hustota energie w = 5 J/m3 znamená, že keby bola hustota energie rovnaká v celom priestore, tak v jednom metri kubickom by bolo 5 joulov. Ale hustota energie sa môže bod od bodu meniť a celková, globálna energia poľa je súčtom energií malých objemov s rôznymi hustotami energie.

Tým sa prirodzene dostávame aj k pojmu kvázilokálnej energie. Globálna energia je energia poľa v celom priestore, lokálna hustota energie popisuje príspevok poľa v danom bode k celkovej energii. Kvázilokálna energia je niečo medzi tým, je to energia uzavretá v danom objeme. Inými slovami, kvázilokálna energia neudáva energiu poľa v celom priestore, ale v nejakej pevne zvolenej oblasti. Ak za oblasť zvolíme celý priestor, kvázilokálna energia sa rovná globálnej.

Na záver uveďme vzťah pre lokálnu hustotu energie elektromagnetického poľa:

energyEM.gif

Celková energia poľa je potom integrál tohto výrazu cez celý priestor, kvázilokálna energia je integrál tohto výrazu cez zvolenú oblasť. Všimnime si, že hoci sme museli vysvetliť veľa vecí, než sme k tomuto výrazu dospeli, tento výraz sa veľmi podobá na energiu harmonického oscilátora (pružiny), ktorú sme uviedli v predchádzajúcom článku. Tam sme videli, že energia pružiny je daná vzťahom

spring.gif

kde k je tuhosť pružiny a y je predĺženie pružiny. Takže hoci sme museli uraziť dlhú cestu, výsledok je veľmi podobný tomu, čo už poznáme: energia je jedna polovica krát nejaká charakteristika sústavy na druhú.

 

Teorémy Emmy Noetherovej

Na príklade klasickej mechaniky a elektromagnetického poľa sme videli, že pojem energie sa objavuje skrze pojem práce. Ak sila koná prácu, dodáva častici energiu. Častica si túto energiu uchová a neskôr môže konať prácu na úkor svojej energie. K energii elektromagnetického poľa sme dospeli podobnou úvahou: ak pole urýchľuje nabité častice, koná prácu, takže samo musí mať energiu V obidoch prípadoch platí zákon zachovania energie: ak sa energia častice zväčšuje, musí to byť na úkor energie niečoho iného.

Ak vynecháme gravitáciu, teda Einsteinovu všeobecnú teóriu relativity, zákon zachovania energie vo všetkých prípadoch je dôsledkom omnoho hlbšieho princípu. Tento princíp vyjadrujú teorémy nemeckej matematičky Emmy Noetherovej. Tieto matematické vety hovoria, že ak sa uvažovaný systém vyznačuje nejakou symetriou, potom sa v tomto systéme zachovávajú určité veličiny.

Pod symetriou myslíme nejakú operáciu, po ktorej sa systém nezmení. Ak napríklad otočíme guľu o nejaký uhol, táto guľa vyzerá po otočení úplne rovnako ako predtým. Hovoríme, že guľa je symetrická voči otočeniu alebo že guľa má rotačnú symetriu. Iným príkladom je trojuholník, ktorý môžeme preklopiť podľa niektorej z jeho osí a dostaneme rovnaký trojuholník. Vtedy hovoríme o zrkadlovej symetrii.

Všimnime si dôležitý rozdiel medzi dvoma spomenutými symetriami. Rotácia, otočenie je spojitá transformácia: objekt môžeme otočiť o 1 stupeň, 10 stupňov, 90 stupňov, alebo o akúkoľvek hodnotu. Avšak u zrkadlovej symetrie žiadny takýto spojitý parameter nemáme, buď trojuholník okolo danej osy preklopíme alebo nie. Nemôžeme ho "trochu preklopiť", zatiaľčo objekt môžeme "trochu otočiť". Takže rotácia patrí medzi spojité transformácie, zrkadlenie je operácia diskrétna (toto slovo v matematike znamená "nespojitý", nie "tajný"). Matematicky by sme povedali, že rotácie tvoria Lieovu grupu. No tak Noetherovej teorémy sa týkajú len tých spojitých transformácií.

Vo fyzike sa však stretávame s menej názornými symetriami než sú rotácie objektov, a to so symetriami rovníc. Nás teraz zaujímajú hlavne translácie v priestore a čase. Ak uskutočníme nejaký experiment v pondelok ráno, mali by sme dostať taký istý výsledok ako keby sme tento experiment uskutočnili v stredu večer. Fyzikálne zákony teda musia byť invariantné (nemenné) voči translácii (posunutiu) v čase. Jedná sa skutočne o spojitú transformáciu, pretože toto posunutie môže byť o sekundu, hodinu, dva dni, atď., na posunutie v čase sa teda vzťahujú aj Noetherovej vety.

A teraz príde zázrak. Predstavme si kmitajúcu pružinu. Táto pružina musí kmitať za daných podmienok vždy rovnako, nezáleží na tom, kedy ju rozkmitáme, či v pondelok alebo v stredu. Rovnica popisujúca kmitanie pružiny musí byť teda invariantná voči translácii v čase. Keď na pružinu aplikujeme Noetherovej vety, zistíme, že pri kmitaní pružiny musí byť zachovaná určitá veličina, ktorá je daná výrazom

totalspring.gif

Ale tento výraz je nám dôverne známy! Prvý člen je kinetická energia a druhý je potenciálna energia pružiny!!! Takže Noetherovej vety nám hovoria, že pri kmitaní pružiny sa musí zachovávať veličina, ktorú sme už predtým identifikovali ako celkovú energiu pružiny. To, čo sme predtým zistili na základe úvah o vykonanej práci, nám teraz Noetherovej vety hovoria na základe úplne iného argumentu. Ak zákony pružiny nezávisia od času, potom sa musí zachovávať energia pružiny!

Je to náhoda? Nie, nie je. Ak to isté zopakujeme pre elektromagnetické pole, Noetherovej vety nás uisťujú, že veličina

energyEM.gif

sa musí zachovávať. Ale to je práve výraz pre energiu elektromagnetického poľa.

Vidíme, že zachovanie energie je skutočne fundamentálna vlastnosť. Je to dôsledok toho, že fyzikálne zákony sa nemenia s časom. Nie je to fascinujúce? Zákon zachovania energia nie je náhodou vypozorovaná zákonitosť, je to hlboký dôsledok prostého faktu, že fyzikálne zákony nesmú závisieť na čase. Ale ide to ešte ďalej. V ďalšom článku vysvetlíme, že táto invariancia voči translácii v čase je spätá s geometriou priestoročasu. Túto súvislosť plne doceníme až v rámci špeciálnej teórie relativity, ale vo výsledkoch, ktoré tu uvádzam, sú už myšlienky teórie relativity obsiahnuté, aj keď som to zatiaľ explicitne nepovedal.

Ešte jedna poznámka. Sú prípady, kedy nevieme tak jednoducho povedať, čo je energia nejakého systému. V kvantovej teórii poľa sa napríklad uvažuje takzvané skalárne (Klein-Gordonovo) pole, ktoré popisuje častice so spinom nula, napríklad slávny Higgsov bozón. Ale voľné skalárne pole na častice nijak nepôsobí, takže nevieme vypočítať, akú prácu koná a teda ani nevieme, aká je energia tohoto poľa. Ale v takýchto prípadoch práve môžeme použiť Noetherovej teorémy k definícii energie. Energia Klein-Gordonovho poľa je skrátka tá veličina, ktorej zachovanie garantuje Noetherovej veta. A táto veta skutočne vedie k zmysluplnému výrazu pre energiu poľa. A asi vás neprekvapí, že v tomto výraze vystupuje jedna polovica krát charakteristika poľa na druhú (viď posledný odsek predchádzajúcej sekcie).

Toto je jedna z vecí, ktoré nikdy nepochopia tzv. "vyvracači teórie relativity", o ktorých som písal asi pred dvoma rokmi v prvom článku tu na blogu sme.sk. Oni sa stále hrajú s Lorentzovými transformáciami, ktorým ani poriadne nerozumejú a snažia sa dokázať, že Einstein sa mýlil. Ale už nevedia o tom, že teória relativity nie je len o dilatácii času. Teória relativity má hlboké dôsledky v celej fyzike a zákon zachovania energie (a hybnosti a momentu hybnosti, ako i existencia spinu elementárnych častíc) je dôsledkom vlastností priestoru a času. A hlavne, tieto dôsledky sú perfektne potvrdené experimentom a to priamo i nepriamo. Sú to práve tieto nepriame dôsledky, ktoré podľa mňa teórii relativity dodávajú plnú váhu. Ako som však už písal, neznamená to, že Einsteinova teória je posledné slovo vo fyzike, ani si to nemyslím. Len hovorím, že snažiť sa vyvrátiť relativitu na základe nejakých amatérskych pokusov je  naivné a bezvýchodiskové.

A ešte zaujímavejšie to je vo všeobecnej teórii relativity. Podľa tejto teórie je gravitácia zakrivenie priestoročasu. To ale okrem iného znamená, že priestoročas sa vo všeobecnosti práve nevyznačuje tými symetriami, o ktorých sme v tomto paragrafe hovorili! To znamená, že nie je možné aplikovať Noetherovej teorémy. A to je práve jadro pudlíka a zároveń motivácia pre túto sériu článkov. Vo všeobecnej teórii relativity neexistuje žiadny spôsob, ako zmysluplne definovať energiu gravitačného poľa. No ale o tom až vďalších článkoch...

Dobré ráno, ďakujem za pozornosť.

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

EKONOMIKA

Učiteľ, ktorý sa rád hral. Ako sa Milan Reindl stal dizajnérom Lego Technic

Nevyštudoval techniku ani dizajn. Napriek tomu sa stal jedným z jedenástich dizajnérov Lego Technic. Len vďaka tomu, že si rád z lega skladal veci, na ktoré nemal návod.

DOMOV

Smer chce byť politicky nekorektný aj robiť poriadky v osadách

Novými podpredsedami sú Blanár a Žiga.

SVET

Výbuchy pri štadióne v Istanbule zabili najmenej 13 ľudí

K explóziám došlo hodinu po zápase medzi Besiktasom a Bursasporom.


Už ste čítali?