Čierne diery, časť II

Autor: Martin Scholtz | 27.1.2014 o 22:19 | Karma článku: 5,83 | Prečítané:  1226x

V minulom článku sme sa v rýchlosti pozreli na niektoré aspekty problematiky čiernych dier. V tomto článku začneme čierne diery študovať systematicky. V tomto i niekoľkých nasledujúcich článkoch pritom budeme skúmať klasické čierne diery, tak ako ich popisuje Einsteinova všeobecná teória relativity. Až pochopíme klasické čierne diery, zameriame sa na kvantovomechanické aspekty týchto objektov. No ale to ešte nejakú dobu potrvá :) V tomto článku sa zameriame na to, čo znamená pojem priestoročas a definujeme pojem svetelného kužeľa. Pokúsim sa vysvetliť, že priestoročas je viac, než čas a priestor dohromadyVyvrcholením článku bude vzťah pre vzdialenosť udalostí v priestoročase.

 

Priestoročasové diagramy

Aby sme mohli bez odbočení sledovať ďalší výklad, bude užitočné povedať si pár vecí o plochom priestoročase v špeciálnej teórii relativity. V minulom článku som uviedol, že vo všeobecnej teórii relativity sa gravitácia modeluje zakrivením priestoročasu, ale obrázky, ktorými som toto tvrdenie ilustroval, boli obyčajné priestorové obrázky. Preto si teraz ukážeme. čo vlastne priestoročasové diagramy znamenajú.

Základná myšlienka je veľmi jednoduchá: ku každej polohe častice zakreslíme do grafu aj čas, v ktorom sa častica v danej polohe nachádzala. Pre jednoduchosť budeme sledovať len vzdialenosť častice od nejakého pevne zvoleného bodu; túto vzdialenosť označíme symbolom r a čas označíme, ako je dobrým zvykom, symbolom t. Čas podľa rodových zvyklostí kreslíme na zvislú os tak, že čas rastie smerom nahor. Uvažujme tento jednoduchý priestoročasový diagram:

diag1.png

Podľa tohto obrázka sa častica v čase t1 nachádzala vo vzdialenosti r1, v neskoršom čase t2 sa nachádzala vo väčšej vzialenosti r2. Priestoročasovým diagramom to nazývame, pretože na jednu os nanášame priestorovú vzdialenosť r, na zvislú os nanášame časové intervaly t. Ak sa rýchlosť častice nemení, jej pohyb v priestoročasovom diagrame znázorňuje priamka a rýchlosť častice je daná základoškolským vzťahom

eq1.gif

ktorý hovorí, že rýchlosť je urazená vzdialenosť delená časom, ktorý to trvalo. Ak sa rýchlosť pohybu bude meniť, grafom v priestoročase nebude priamka, ale nejaká všeobecná krivka. Napríklad pre časticu, ktorej rýchlosť sa rovnomerne zväčšuje, bude grafom parabola:

diag3.png

Špecifikom priestoročasových diagramov je mimo iné to, že aj častica, ktorá zostáva na jednom mieste, teda sa nepohybuje, sa v priestoročasovom diagrame pohybuje po priamke. Príklad:

diag4.png

 

V tomto obrázku častica zotrváva v konštantnej vzdialenosti r pre ľubovoľný čas. Čím väčšia je rýchlosť častice, tým viac sa bude jej trajektória v priestoročasovom diagrame odkláňať od zvislej osi.

Dohodneme sa ešte na jednej praktickej veci. Rýchlosť svetla je presne c = 299 792 458 metrov za sekundu, teda približne 300 000 km/s. Ak by sme chceli tak veľkú rýchlosť zakresliť do diagramu, dostali by sme priamku, ktorá je prakticky rovnobežná s osou x. Ak by sme jednu sekundu na zvislej osi znázornili úsečkou dĺžky 1 cm, museli by sme na vodorovnej osi znázorniť vzidalenosť 30 000 kilometrov. Aj pre tých z vás, ktorý majú širokouhlé monitory, by takéto zobrazovanie bolo nepraktické. Pôvod tohto problému spočíva v tom, že naše obvyklé jednotky, tak užitočné v praktickom živote (pre tých šťastnejších je ešte praktickejšia jednotka 1 decimeter), nie sú prispôsobené na problémy spojené so šírením svetla. V teórii relativity (ale aj vôbec v teoretickej fyzike) je vhodnejšie merať dĺžky aj čas v metroch. Každý z nás pozná jednotku svetelný rok: je to vzdialenosť, ktorú svetlo urazí za jeden rok. Analogicky môžeme zaviesť jeden svetelný meter ako čas, ktorý svetlo potrebuje, aby urazilo vzdialenosť jeden meter. Jeden svetelný meter je teda približne jedna tristomilióntina sekundy. Pre bežné účely je to nepraktická jednotka, ale naopak pre naše úvahy je veľmi vhodná.

Takže odteraz budeme čas merať v svetelných metroch. Rýchlosť svetla v týchto jednotkách je

eq2.gif

Dôsledkom tejto voľby jednotiek je, že svetlo sa v priestoročasovom diagrame šíri presne pod uhlom 45 stupňov. Uvažujme nasledujúci obrázok:

nullcone1.png

Modré hrubé čiary reprezentujú pohyb svetla v čase. Oblasť medzi týmito dvoma priamkami sa nazýva svetelný kužeľ. Zvislá čierna čiara reprezentuje časticu, ktorá zotrváva na svojom mieste, takže jej súradnica r sa nemení a častica sa pohybuje len v čase. Ďalšie dve čierne čiary reprezentujú pohyb častíc, ktoré sa pohybujú podsvetelnou rýchlosťou. Skutočnosť, že to nie sú priamky, ale krivky, znamená, že rýchlosť týchto častíc sa mení. Čím viac sa krivky odkláňajú od zvislej osi, tým rýchlejšie sa príslušné častice pohybujú. Podľa teórie relativity je pohyb nadsvetelnou rýchlosťou nemožný, takže žiadna častica sa nemôže pohybovať tak, ako na ďalšom obrázku:

nullcone2.png

Na tomto obrázku svetočiara pretína svetelný kužeľ, takže zodpovedá nadsvetelnej rýchlosti, čo je nemožné. Toto je veľmi dôležitý záver, aby sme dokázali správne interpretovať priestoročasové obrázky: povolené sú len také pohyby, pri ktorých svetočiara leží vnútri svetelného kužeľa.

 

Teplotočas

Aj keď je popis pohybu pomocou priestoročasových obrázkov elegantný a pojem svetelného kužeľa nám pomáha pochopiť, ktoré pohyby sú možné a ktoré nie, zatiaľ sme nič revolučné neurobili. Len sme dali dohromady priestorovú os r a časovú os t, takže v diagrame vidíme nie len to, kde sa teleso nachádzalo, ale aj kedy sa tam nachádzalo. Zo sklonu svetočiary potom dokážeme vyčítať aj rýchlosť pohybu. Z praktických dôvodov sme zvolili vhodné jednotky, takže rýchlosť svetla je rovná jednej a svetlu zodpovedajú priamky zvierajúce uhol 45 stupňov s obama osami. Ale to ešte nevyčerpáva obsah teórie relativity. Podobné diagramy ľudia kreslili aj pred Einsteinom a Minkowskim. Aj obyčajný železničný grafikon je v tomto zmysle priestoročasovým diagramom. Takže poďme si povedať, v čom ide teória relativity ďalej a ako to Minkowski nádherne geometricky interpretoval.

Podstatné je, že keď zlepíme dve veci dohromady, ešte to neznamená, že sme niečo lepšie pochopili. Spojiť priestor a čas do jedného grafu je fajn, ale nič nového to neprináša. Alebo nemuselo by. Skúsim vysvetliť celú ideu na príklade "teplotočasu". Predstavme si, že sledujeme teplotu pacienta v priebehu dňa. Zaujíma nás, akú teplotu mal ráno o siedmej a potom mu teplotu meriame napríklad každú hodinu. Bežná vec je, že si závislosť na teplote zaznačíme do grafu, napríklad:

teplota.gif

Z tohoto grafu vidíme, že o siedmej mal pacient asi 36 stupňov, jeho teplota potom trochu stúpla, potom stúpla prudšie, kulminovala o 17.00, kedy mal pacient 41 stupňov, až sa nakoniec o šiestej ochladil na izbovú teplotu.

Pretože do grafu zaznačujeme čas na x-ovej osi a teplotu na y-ovej osi, budem tento diagam nazývať teplotočas.V tomto grafe môžeme merať časové intervaly a rozdiely teplôt. Napríklad má zmysel pýtať sa, aký je interval medzi siedmou hodinou a 12. hodinou: je to 5 hodín. Podobne sa môžeme spýtať, aký je rozdiel teplôt pacienta o siedmej a o dvanástej: je to 1,4 stupňa. Údaje o pacientovi o siedmej a dvanástej hodine možno zapísať v podobe "súradníc":

Udalosť 1: čas 7:00;  teplota 36,6 stupňa

Udalosť 2: čas 12:00, teplota 38 stupňov

Časová vzdialenosť medzi týmito udalosťami je 5 hodín, rozdiel v teplotách je 1,4 stupňa. Čo však zmysel nemá, je merať vzdialenosť samotných udalostí. Čo tým myslím? Predstavme si, že máme v obyčajnej rovine so súradnicami x a y dané dva body, napríklad

bod P: x = 1;  y = 2;

bod Q: x = 4; y = 6;

Zakreslime tieto body do súradnicového systému.

dist.gif

Zase má zmysel pýtať sa, aká je vodorovná vzdialenosť bodov P a Q. V obrázku sme ju označili Δ x a je rovná rozdielu x-ových súradníc:

Δ x = 4 - 1 = 3

Podobne zvislá vzdialenosť bodov P a Q je rovná rozdielu y-ových súradníc:

Δ y = 6 - 2 = 4.

Keď si spomenieme na teplotočas, tak veličina  Δx zodpovedá rozdielu v čase, veličina  Δy zodpovedá rozdielu teplôt. Ale v rovine má význam ešte jedna veličina: skutočná vzdialenosť bodov P a Q. V obrázku som ju označil  Δr a je to dĺžka priamej spojnice týchto bodov. Vzdialenosť  Δr sa dá vypočítať z Pythagorovej vety (príslušný vzorec je v obrázku) a vyjde nám  Δr = 5.

Čo je analógiou vzdialenosti  Δr v teplotočase? Ako by sme mohli vypočítať vzdialenosť udalostí 1 a 2 (teplota pacienta v čase 7 hod a v čase 12 hod) v teplotočase? Hoci je to triviálne, ešte raz zdôrazňujem, že má zmysel počítať vzdialenosť dvoch udalostí v čase, má zmysel počítať rozdiel teplôt pacienta v rôznych časoch. Ale keby sme tieto dve udalosti spojili úsečkou v teplotočase, aká by bola jej dĺžka?

Odpoveď je, že sa to nedá. Ak chápeme pod teplotočasom len priestor, ktorý vznikne skombinovaním časovej osi a osi reprezentujúcej teplotu, neexistuje žiadny spôsob, ako zmerať vzdialenosť dvoch bodov v teplotočase. V tomto zmysle teplotočas nepredstavuje žiaden pokrok vo formulácii problému, pojem teplotočasu nevrhá na situáciu žiadne nové svetlo.

 

Priestoročas

V princípe je podobná situácia aj s priestoročasom. Uvažujme nasledujúci obrázok:

spacetime1.png

Vidíme tu dve priestorové osi x a y a časovú osu t. Ďalej sme tu zakreslili dve udalosti U1 a U2 v rovnakom čase t. Celá sivá plocha reprezentuje všetky možné udalosti v danom čase t. Udalosť charakterizujeme časom t, v ktorom sa odohrala, a jej priestorovými súradnicami x, y, z (os z nie je v obrázku nakreslená). Nech dané dve udalosti majú súradnice

U1[t, x1, y1, z1]

U2[t, x2, y2, z2]

Čas je pre obe udalosti rovnaký, priestorové súradnice sa líšia. Pretože sa teda obe udalosti odohrali v tom istom čase, má zmysel pýtať sa na ich priestorovú vzdialenosť.  Podľa Pythagorovej vety je priestorová vzdialenosť súčasných udalostí daná vzťahom

Δr2 =  Δx2 +  Δy2 +  Δz2.

Takže podobne, ako sme v teplotočase merali rozdiel teplôt, v priestoročase môžeme merať priestorovú vzdialenosť dvoch súčasných udalostí.

 

Uvažujme teraz dve udalosti, ktoré nie sú síce súčasné, ale odohrali sa na rovnakom mieste, ako na tomto obrázku:

spacetime2.png

Máme tu teraz dve roviny, ktoré reprezentujú dva rôzne časy. Udalosti U1 a U2 sú však nakreslené presne nad sebou, čo znamená, že ich priestorové súradnice sú rovnaké. Časový interval (časová vzdialenosť) medzi týmito udalosťami je potom prirodzene

Δt = t2 - t1.

Ak sa dve udalosti odohrali na rovnakom mieste, má zmysel sa pýtať, aký čas medzi nimi uplynul.

A teraz najzaujímavejší prípad. Čo ak sa udalosti nestali ani na rovnakom mieste, ani v rovnakom čase? Ako merať vzdialenosť udalostí v nasledujúcom obrázku?

spacetime3.png

Je to na prvý pohľad podobné prípadu s teplotočasom. Ako môžeme skombinovať časové a priestorové súradnice tak, aby nám dali nejaký zmysluplný údaj o vzdialenosti medzi dvoma udalosťami v priestoročase?

Neviem, či som svojim výkladom dostatočne zdôraznil vážnosť celej situácie, pokúsim sa teda o rekapituláciu. V úvodnom paragrafe sme začali kresliť priestoročasové diagramy, v ktorých pekne vidíme nie len to, po akej krivke sa objekt pohybuje, ale aj kedy sa kde nachádzal. Priestoročas sme považovali len za akýsi pomocný koncept, v ktorom sme k obyčajným priestorovým osiam pridali ešte časovú. Udalosti, ktoré sa stali v tom istom čase, ležia na ploche, ktorá je kolmá k časovej osi. Takáto plocha reprezentuje vlastne celý priestor v určitom čase. Ak dve udalosti ležia v takejto ploche, vieme vypočítať ich priestorovú vzdialenosť. Naopak, ak sa dve udalosti odohrali v rôznych časoch, ale na tom istom mieste, bez problémov vypočítame čas, ktorý medzi nimi uplynul. Ale keď máme dve nesúčasné a nerovnomiestne udalosti, nevieme, ako vypočítať ich vzdialenosť v priestoročase. Keby nebolo teórie relativity, určite by bolo užitočné kresliť priestoročasové diagramy. Ale vďaka teórii relativity vieme aj merať vzdialenosti v priestoročase!

Hermann Minkowski ukázal, že celý obsah Einsteinových postulátov teórie relativity sa dá zhrnúť do tvrdenia, že vzdialenosť dvoch udalostí, ktoré sa odohrali vo vzdialenosti  Δr, a medzi ktorými uplynul čas  Δt, je daná vzťahom

Δs2 =  Δt2 -  Δr2,

alebo keď použijeme Pythagorovu vetu,

Δs2 =  Δt2 -  Δx2-  Δy2-  Δz2.

Nebudem teraz vysvetľovať, prečo je vzdialenosť udalostí daná práve týmto vzťahom, berte to, prosím, ako fakt. Skúsme však vyšetriť niektoré dôsledky tohto vzťahu.

V teórii relativity sú čas a priestor relatívne. To znamená, že čas a dĺžka závisia od pozorovateľa. Možno si zo strednej školy alebo z populárnych kníh pamätáte, že ak sa voči sebe dvaja pozorovatelia pohybujú rýchlosťou v, ich hodiny tikajú rôznou rýchlosťou. Z hľadiska nehybného pozorovateľa tikajú pohybujúce sa hodiny pomalšie. Podobne sa pohybujúci objekt javí stojacemu pozorovateľovi skrátený v smere pohybu. Preto sú priestorové intervaly Δx,, Δy, Δz a časové intervaly Δt rôzne pre rôznych pozorovateľov. Z Einsteinovej teórie ale vyplýva, že veličina Δs, zvaná priestoročasový interval, je pre všetkých rovnaká. Preto je vhodnejšie popisovať vzdialenosti medzi udalosťami pomocou priestoročasového intervalu, než pomocou priestorových a časových intervalov. Kým priestoročasový interval je nezávislý na pozorovateľovi, priestorové a časové intervaly samé osebe sú relatívne, závislé na pozorovateľovi.

 

Záver

Tu teraz výklad prerušíme. K čiernym dieram sme sa dnes nedostali, ale pochopiť vlastnosti priestoročasu je pre výklad o nich kľúčové. Nabudúce začneme tým, že vzdialenosti v priestoročase rozdelíme na časupodobné, svetlupodobné a priestorupodobné a dáme to do súvisu so svetelným kužeľom. Potom si ukážeme, ako vyzerajú svetelné kužele v okolí čiernej diery a pochopíme, prečo pozorovateľ, ktorý prekročí horizont udalostí, musí nevyhnutne spadnúť do čiernej diery.

Privítal by som, keby čitatelia v diskusii vzniesli pripomienky ku štýlu výkladu. Snažím sa podať veci zrozumiteľne a jednoducho, ale možno niektoré vevci vysvetľujem až príliš podrobne, iné dôležité nuansy možno nechávam stranou. Preto ma bude tešiť spätná väzba.

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

EKONOMIKA

Učiteľ, ktorý sa rád hral. Ako sa Milan Reindl stal dizajnérom Lego Technic

Nevyštudoval techniku ani dizajn. Napriek tomu sa stal jedným z jedenástich dizajnérov Lego Technic. Len vďaka tomu, že si rád z lega skladal veci, na ktoré nemal návod.

DOMOV

Smer chce byť politicky nekorektný aj robiť poriadky v osadách

Novými podpredsedami sú Blanár a Žiga.

SVET

Výbuchy pri štadióne v Istanbule zabili najmenej 13 ľudí

K explóziám došlo hodinu po zápase medzi Besiktasom a Bursasporom.


Už ste čítali?