Čierne diery, časť V - konformné transformácie

Autor: Martin Scholtz | 8.10.2014 o 19:21 | Karma článku: 3,16 | Prečítané:  835x

Toto je pokračovanie série článkov o čiernych dierach (v astrofyzikálnom zmysle). Pretože mojim cieľom nie je len opakovať informácie, ktoré nadšení čitatelia môžu nájsť v populárnych publikáciách a chcel by som ukázať problematiku čiernych dier do väčšej hĺbky, musíme sa na chvíľu zastaviť pri matematickom pojme "konformnej transformácie". 

Prečo?

V jednom z minulých článkov,

http://scholtz.blog.sme.sk/c/347659/Cierne-diery-cast-III.html,

 sme ukázali, že najjednoduchšia čierna diera je popísaná tzv. Schwarzschildovou metrikou a ukázali sme si (pomocou svetelných kužeľov), že okolo čiernej diery je horizont, spod ktorého nič nemôže uniknúť. Zistili sme tiež, že v strede čiernej diery je tzv. krivostná singularita, miesto, kde sa krivosť priestoročasu stáva nekonečnou. Všeobecne fyzici usudzujú, že táto singularita je nefyzikálna a teda Einsteinova teória v nej prestáva platiť. Pôvodne však fyzici (na čele s Einsteinom!) vôbec neverili v reálnosť čiernej diery. Ako som už spomínal v predošlých článkoch, problémom Schwarzschildovej metriky, ktorá bola objavená ako prvá, je jej vysoký stupeň symetrie. V prírode reálne nečakáme, že by vznikali dokonale symetrické objekty. Preto si fyzici mysleli, že ak budeme mať reálnu kolabujúcu (a prípadne rotujúcu) hviezdu, ktorá nie je dokonale symetrická, čierna diera nevznikne. Zvlášť ruská škola akademika Zeľdoviča zastávala tento názor a náročnými výpočtami ukázali, že ak kolabujúca hviezda nie je dokonale symetrická, singularita sa nevytvorí.

V ich výpočtoch však bola chyba. Medzičasom však vtedy mladý a nádejný matmatik Roger Penrose našiel úplne iný prístup, ako zodpovedať túto otázku. A nado všetku pochybnosť dokázal veľmi elegantnými matematickými postupmi (patria do tzv. diferenciálnej topológie) ukázal, že za určitých veľmi realistických podmienok sa nutne musí čierna diera vytvoriť. Keď zverejnil svoj objav, zeľdovičovci mu neverili, ale napokon našli vo svojich výpočtoch veľmi jemnú, ale predsa chybu. Neskôr na Penroseovej metóde vznikli slávne Penroseove-Hawkingove teorémy o singularitách, ktoré sa týkajú čiernych dier aj samotného vesmíru a patria k tým najhlbším objavom v teórii gravitácie.

Penrose tak ukázal, že fyzici by nemali problematiku čiernych dier študovať čisto "fyzikálne", ale viac geometricky. Minule som ukázal, ako Schwarzschildova metrika vyzerá. Trochu diskusiu odľahčím a vložím sa do sporu medzi fyzikmi a matematikmi. Budem neobjektívny a zaujatý. Určitá sorta fyzikov (kedysi k nim patril aj Einstein) považuje matematiku za nutné zlo, ktoré potrebujeme ku skúmaniu prírody. Historicky to väčšinou bolo tak, že ak sa objavil geniálny fyzik, ktorý popísal nejaký nový jav, potreboval k tomu nový matematický aparát. Tak Newton musel vymyslieť derivácie a integrály, Maxwel musel použiť vektorový kalkulus, Einstein musel použiť riemannovskú geometriu, Schrodinger musel použiť operátorový počet a Hilbertove priestory. S výnimkou Newtona, ktorý si všetko, čo potreboval, vymyslel sám, každá nová fyzikálna teória si vyžadovala aparát, ktorý už predtým matematici pripravili bez toho, aby tušili, že raz bude užitočný pre fyziku.

Keď teda nejaký génius zistil, že treba použiť nový aparát a táto teória sa osvedčila, fyzici sa museli zmieriť s týmto novým "zlom" a učiť sa nové matematické postupy. Matematici si však vždy myslia, a často oprávnene, že fyzici matematike príliš nerozumejú a akurát sa naučia ju používať. Keď sa to raz naučia, používajú novú metódu "hrubou silou", až kým nepríde génius, ktorý ukáže, že to ide aj inak a zavedie zase nové matematické postupy. Až v pomerne nedávnej dobe sa to zmenilo, aspoň čiastočne. Stále sú fyzici, ktorí považujú matematiku za nutné zlo, ale dnešní teoretickí fyzici (aspoň v našej oblasti) sa v matematike vyžívajú a často je medzi teoretickým fyzikom a matematikom len malý rozdiel. 

Ale s relativitou to bolo ešte "po starom". Keď sa úbohí fyzici naučili riemannovskú geometriu, tak ako ju do fyziky zaviedol Einstein, neskúmali ďalšie matematické metódy, ale aplikovali novo naučené metódy na všetko, čo im prišlo pod ruku. Ako sa hovorí, keď máte kladivo, všetko vyzerá ako klinec.

Takže keď Einstein fyzikom ukázal, že gravitáciu treba popisovať metrikou, osvojili si tento aparát a začali riešiť zložitejšie problémy, napríklad otázku, či kolapsom hviezdy nutne vznikne čierna diera. Schwarzschildova metrika je veľmi jednoduchá (neskôr uvidíme metriku rotujúcej čiernej diery a to už je iné kafe), ale ako som povedal, je extrémne symetrická. Preto si fyzici položili otázku, čo sa stane, ak túto metriku trochu porušíme, aby nebola presne symetrická. Einsteinove rovnice potom hovoria, ako tieto poruchy musia vyzerať (hovorí sa o poruchovej alebo perturbatívnej metóde). Problém je, že tieto poruchy už tak jednoduché nie sú a výpočty sa extrémne komplikujú. V jadre teórie relativity je, že obvykle celý priestoročas nedokážeme popísať jednými súradnicami, ale musíme uvažovať súradnicové mapy. Podobne ako celé Slovensko nemusíme dať na jednu mapu, ale použijeme celý atlas máp, ktoré musia na seba konzistentne nadväzovať (pojmy atlas a mapa skutočne patria do terminológie diferenciálnej geometrie). Čierna diera je presne ten prípad, pretože sa ukazuje, že obvyklé súradnice sa "pokazia" na horizonte udalostí a tak je treba vyriešiť, ako prejsť od mapy "nad horizontom" k mape "pod horizontom". To celú vec strašne komplikuje a v takom postupe sa potom ľahko urobí chyba. A to sa stalo Zeľdovičovej skupine (ale samozrejme tá chyba bola podstatne sofistikovanejšia a lepšie skrytá, než nejaké očividne zlé manipulovanie so súradnicami).

Penrose naopak opustil popis priestoročasu pomocou súradníc a všímal si geometrické vlastnosti. Takže miesto prechodu medzi súradnicovými mapami sa sústredil na to, ako vyzerajú svetočiary v priestoročase, ako sa menia ich vlastnosti, ako sa rovnobežné krivky začnú zužovať alebo rozširovať (hovoríme o kinematike priestorupodobných a nulových kongruencií). Tento postup je oprostený od súradnicových problémov a vedie elegantne k jasnej predpovedi, že kolabujúca hviezdy vytvorí čiernu dieru. Hawking potom odvodil ďalšie dôležité vlastnosti čiernych dier a spolu s Penroseom potom dokázali svoje slávne vety.

Ako vedľajší produkt však Penrose objavil geometrický popis priestoročasu v okolí čiernej diery. Dnes hovoríme o Penroseových diagramoch (alebo Penroseových-Carterových diagramoch), ktoré prehľadne, bez odvolanie sa na súradnice, popisujú globálnu štruktúru priestoročasov. Tento Penroseov objav odštartoval v 70-tych rokoch tzv. "zlatý vek všeobecnej relativity". V tejto dobe sa obnovil záujem o štúdium gravitácie. Ako píše vo svojej knihe "Fyzika v potížích" Lee Smolin, po Einsteinovi je to Penrose, vďaka komu chápeme teóriu relativity. Penroseove diagramy sa opierajú o konformné transformácie, náplň tohto článku.

Izometrie

Izometrie sú transformácie, ktoré zachovávajú všetky vzdialenosti. Ak napríklad otočíme štvorec v rovine o nejaký uhol, nezmeníme dĺžku žiadnej strany a nový štvorec vyzerá úplne rovnako ako pôvodný.

V obyčajnom priestore sú izometriami v podstate len posunutia (translácie) a otočenia (rotácie). K nim v skutočnosti patrí ešte zrkadlenie podľa ľubovoľnej osi, čo je dôležité v širšom kontexte, ale nateraz sa tým nebudeme zaondievať.

V stredoškolskej fyzike sa izometrie označujú pojmom zhodné zobrazenia, čím sa myslí práve to, že všetky charakteristiky objektu po transformáciu zostanú nezmenené, zhodné. V každom priestore, kde má zmysel hovoriť o vzdialenosti (metrike), má zmysel študovať aj izometrie, teda transformácie, ktoré túto metriku nemenia. My už vieme, že aj Minkowského priestoročas sa vyznačuje metrikou, takže i v ňom má zmysel skúmať izometrické transformácie. Ukazuje sa, že izometrie Minkowského priestoru zahŕňajú všetky izometrie trojrozmerného priestoru (teda transláce, rotácie a zrkadlenia), ale naviac aj tzv. hyperbolické rotácie. Tie predsavujú známe Lorentzove transformácie, teda prechod od jednej inerciálnej vzťažnej sústavy k inej.

 

Konformné transformácie

Konformné transformácie na rozdiel od izometrií nezachovávajú vzdialenosti, ale zachovávajú uhly. Jednoduchým príkladom sú podobné trojuholníky:

Na ľavo máme trojuholník so stranami a, b, c a príslušnými uhlami. Ak teraz každú stranu trojuholníka predĺžime na dvojnásobok, trojuholník sa zväčší, ale uhly medzi jednotlivými stranami zostávajú rovnaké, nezmenené. Hovoríme, že oba trojuholníky sú podobné.

Toto je najjednoduchší príklad konformnej transformácie, teda transformácie zachovávajúcej uhly. Hovoríme o tzv. preškálovaní konštantným faktorom, v tomto prípade 2 (pretože sme všetky dĺžky vynásobili dvojkou). Tento proces však možno zovšeobecniť, ak škálovací faktor bude iný v každom bode roviny. Predstavme si, že v nejakej malej ploche preškálujeme všetky dĺžky faktorom 2, ale v tesnej blízkosti tejto malej plôšky budeme všetko škálovať faktorom 2,1, o kúsok ďalej faktorom 1,98 atď. Jediné, čo musíme dodržať je, aby sa faktor nemenil príliš "divoko", takže pre blízke body sa faktor bude líšiť len o málo (matematicky hovoríme o hladkosti). Inak máme vo voľbe faktora úplnú voľnosť.

Ľahko sa dá ukázať, že aj v tomto prípade budú všetky uhly zachované, ale objekty sa zdeformujú podstatne viac, než v príklade s trojuholníkmi. Vezmime si napríklad takúto pravouhlú mriežku:

Ako už sám názov napovedá, v pravouhlej mriežke sa všetky priamky pretínajú pod pravým uhlom. Teraz môžeme aplikovať konformnú transformáciu, teda preškálovanie dĺžok v každom bode iným faktorom. Podľa toho, ako zvolíme tento faktor (ako funkciu v rovine), môžeme získať takéto rozmanité veci:

 

 

 

 

 

To všetko je tá istá mriežka, na ktorú sme ale aplikovali rôzne konformné transformácie. Všimnite si však, že hoci sa mriežka značne zdeformovala, všetky čiary sa stále pretínajú pod pravým uhlom! To je zákonná povinosť všetkch konformných transformácií a z obrázku je vidieť (a dá sa ľahko matematicky dokázať), že nami uvažované transformácie si túto povinnosť poctivo plnia.

(Pre fajnšmekerov a kožmekerov len dodám, že každá holomorfná komplexná funkcia generuje konformnú transformáciu a konformnosť transformácie plynie okamžite z Cauchyho-Riemannových vzťahov. V týchto príkladoch sme ako generujúcu funkciu použili z^2, ln z, a 1/z.)

 

Význam pre fyziku

Než sa dostaneme k hlavnej náplni tohto článku, rád by som povedal niečo o všeobecnom význame konformných transformácií pre fyziku. Konformné transformácie sú často užitočným matematickým nástrojom pre riešenie niektorých problémov, napríklad v elektrostatike alebo v mechanike kvapalín. Dôvodom užitočnosti týchto transformácií je ich úzky súvis s komplexnými funkciami, ktoré sa zase prirodzene objavujú v súvislosti s tzv. Laplaceovou rovnicou, ktorá sa vo fyzike veľmi často objavuje. 

Príklad. V hydrodynamike nás napríklad zaujíma, ako vyzerá obtekanie kvapaliny okolo profilu určitého tvaru, napríklad okolo krídla. Problém obtekania krídla je zložitá vec, pretože reálna tekutina je viskózna (má vnútorné trenie) a preto pri vysokých rýchlostiach dochádza k vzniku turbulencií v okolí krídla (tzv. medzná vrstva). Ale ako zjednodušenie si môžeme predstaviť, že zanedbáme viskozitu tekutiny, a miesto reálneho krídla budeme skúmať len profil, takže problém prevedieme na dvojrozmerný. Aj tak nevieme priamoriešiť príslušné rovnice, ale pomôžeme si konformnými transformáciami. Vtip je, že vieme riešiť špeciálny prípad obtekania valca. Profil valca je jednoducho kružnica:

Významný ruský fyzik a zakladateľ modernej aerodynamiky Žukovskij navrhol, že profil krídla môžeme získať vhodnou konformnou transformáciou. Slávna Žukovského transformácia je veľmi jednoduchá, v pojmoch komplexných funkcií je to banálny vzorec

Pretože je to komplexná funkcia, automaticky indukuje konformnú transformáciu, ktorá transformuje kružnicu na profil krídla:

Tomuto tvaru sa hovorí Žukovského profil a jeho presný tvar záleží na tom, kam vyššie zmienenú kružnicu v komplexnej rovine umiestnime. 

 

Ak by vás zaujímali detaily modelovania obtekania profilu krídla v tomto zjednodušenom prípade, dovolím si poskytnúť odkaz na bakalársku prácu môjho študenta Petra Veselého (dnes Webera), ktorá je dostupná na mojej webovej stránke:

http://utf.mff.cuni.cz/~scholtz/index.php?section=students

To na margo konformných transformácií ako technického, matematického nástroja k riešeniu určitých problémov. Tieto aplikácie však nemajú fyzikálny obsah, je to len matematický nástroj. Konformné transformácie však majú aj širší filozofický význam a nie je jednoduché populárne vysvetliť, v čom spočíva. Pretože som od prírody skromný, pokúsim sa o to.

Izometrie a fyzikálne zákony

Videli sme, že izometrie sú transformácie, ktoré zachovávajú vzdialenosti, teda v zásade len posunutia a rotácie. Prečo je to dôležité pre fyziku? Preto, že všetky fyzikálne zákony musia tieto izometrie rešpektovať. Vieme že posunutie systému nezmení jeho fyzikálne vlastnosti: ak urobíme nejaký experiment tam či onam, mal by dopadnúť rovnako. To znamená, že aj rovnice, ktoré vyjadrujú fyzikálne zákony musia mať túto vlastnosť. Učene hovoríme, že fyzikálne rovnice musia byť invariantné voči transláciám, čo znamená, že rovnice sa nesmú zmeniť pri posunutí.

Podobne musia byť zákony invariantné voči rotáciám: ak experimentálnu aparatúru ľubovoľným spôsobom natočíme, musí fungovať stále rovnako. To preto, že samotný priestor nerozlišuje žiadne špeciálne smery, všetky smery sú ekvivalentné.

Z hľadiska špeciálnej teórie relativity je tých požiadavkov viac. Podľa princípu relativity musia fyzikálne zákony vyzerať rovnako pre všetkých pozorovateľov, ktorí sa pohybujú rovnomerným priamočiarym pohybom. O tom som ostatne vykladal v mnohých predchádzajúcich článkoch. Geometricky to znamená, že aj hyperbolické rotácie sú izometriami Minkowského priestoročasu (viď vyššie).

Používam teraz možno mnoho odborných pojmov, ale podstata je táto: ak sa vlastnosti priestoru (priestoročasu) nemenia pri určitých transformáciách, musia všetky fyzikálne rovnice mať tú istú vlastnosť. Trochu to zjednoduším, ale spomeňme si na úvodný príklad tohto článku, kedy sme uvažovali otočenie štvorca. Vieme, že plocha štvorca so stranou a je rovná a*a. Po otočení má štvorec stále stranu dĺžky a, takže jeho plocha musí byť stále daná výrazom a*a. Keby vzorec pre plochu štvorca nebol invariantný voči rotácii, museli by pozorovatelia, ktorí sú voči sebe otočení počítať plochu každý podľa iného vzorca. Podobne je to s fyzikálnymi zákonmi: nesmú sa zmeniť, ak systém otočíme.

Izometrie priestoru (priestoročasu) sa tak premietajú do pomerne silných požiadavkov na tvar fyzikálnych rovníc. 

 

Konformné transformácie a fyzikálne zákony

Ako je to s konformnými transformáciami? Môžeme urobiť podobnú úvahu? Áno i nie.

Videli sme, že najjednoduchšou konformnou transformáciou je, keď jednoducho vynásobíme všetky dĺžky určitou konštantou. Sú fyzikálne zákony nemenné (invariantné) voči takejto transformácii? Rozhodne nie! Jednoduchý argument, prečo nie, pochádza už od Galilea Galileoviča Galileliho. 

Galilei problém škálovania ilustroval na stavbe živočíchov. Ak by sme vzali pudlíka (Galilei nepoužil presne tento príklad) a preškálovali ho faktorom 2, dostali by sme rovnako fungujúceho pudlíka? Keby sme všetky pudľacie dĺžky vynásobili dvomi, fungoval by preškálovaný pudlík rovnako ako pôvodný? Sústreďme sa na jediný aspekt, a síce, či by mal preškálovaný pudlík dosť silné nohy, aby sa nezlomili pod jeho ťarchou.

Ako jednoduchý, ale rozumný model môžeme odhadnúť, že pevnosť kostí závisí predovšetkým na ich hrúbke, teda na ploche prierezu kosti. Na druhej strane, sila, ktorou sú kosti namáhané, závisí hlavne na hmotnosti zvieraťa.

Ak zväčšíme napríklad každú stranu štvorca dvakrát, plocha štvorca sa zväčší štyrikrát. Platí to všeobecne: plocha rastie s druhou mocninou dĺžky. Ak by sme však zväčšili stranu kocky, jej objem by vzrástol až osemkrát, teda objem telies rastie s treťou mocninou dĺžky, čiže rýchlejšie než plocha.

To nám dáva odpoveď na vyššie položenú otázku. Ak preškálujeme pudlíka, jeho objem a teda aj hmotnosť sa zväčšia osemkrát. Ale plocha prierezu kosti sa zväčšila len štyrikrát. Je teda zrejmé, že ak pudlíka preškálujeme príliš veľkým faktorom, jeho objem narastie omnoho viac, než narastie schopnosť jeho kostí odolávať pudlíkovej hmotnosti. Na základe podobných úvah potom Galilei dokonca zostavil škálovací zákon, vzťah medzi veľkosťou zvieraťa a prerezom jeho kostí alebo nôh. Ten vzťah nie je úplne dobrý, pretože sme použili množsvto zjednodušení, ale hlavná myšlienka je správna. 

Vidíme teda, že ak objekt preškálujeme, nebude mať rovnaké vlastnosti ako predtým. Z pobiehajúceho pudlíka sa preškálovaním môže stať godzilka, ktorú neudržia jej vlastné nohy. Hoci je teda príroda invariantná voči transláciám, rotáciám a Lorentzovým transformáciám, rozhodne nie je invariantná voči škálovaniu a konformným transformáciam.

Konformne invariantné rovnice

A predsa, mnoho fyzikálnych rovníc je konformne invariantných (teda pri konformnej transformácii sa nemenia). Napríklad elektromagnetické pole je konformne invariantné v silnom zmysle. Spomeňme si na pravouhlú mriežku, ktorú sme na začiatku výkladu zdeformovali konformnou transformáciou. Keby v rovine tejto mriežky bolo elektromagnetické pole, po konformnej transformácii by sme videli, že jeho siločiary sa zdeformujú podobne ako mriežka, ale všetko by stále vyhovovalo tým istým rovniciam. 

Uvediem príslušné rovnice, ale nezaťažujte sa nimi, len chcem na nich ukázať jednu peknú vec. Mnohí z čitateľov asi vedia, že elektromagnetické pole je popísané Maxwellovými rovnicami, ktorých klasický tvar tu neuvádzam. Ani tí fyzikálne najvzdelanejší (okrem profesionálnych relativistov) však asi nepoznáte spinorový tvar Maxwellových rovníc. V tzv. spinorovom formalizme (ktorý funguje aj v krivom priestore) popisujeme pole objektom zvaný spinor, ktorý má určitý počet indexov. Počet indexov závisí od spinu častíc, ktoré sú kvantami daného poľa. Napríklad elektromagnetické pole je tvorené fotónmi a tie majú spin 1, takže elektromagnetické pole je popísané spinorom

kde A a B sú tzv. abstraktné indexy, ale tým sa nebudeme zaoberať. V tomto objekte je však zakódované celé elektromagnetické pole, teda 3 zložky elektrickej intenzity a 3 zložky magnetickej indukcie.

Maxwellove rovnice (vo vákuu) potom nadobúdajú jednoduchý tvar

Symbol prevráteného trojuholníka (nabla) je spinorová kovariantná derivácia a pretože jeden index sa v rovnici opakuje (A), hovoríme o spinorovej divergencii. Je jedno čo to znamená, ale v tejto jedinej rovnici sú skutočne zakódované všetky Maxwellove rovnice (tých je spolu 8). 

Pretože fotóny majú nulovú hmotnosť a spin 1, Maxwellove rovnice v spinorovom tvare sa nazývajú aj rovnicami pre nehmotné častice spinu 1.

Táto rovnica má zaujímavú vlastnosť. Navzdory tomu, že sme argumentovali, že prírodné zákony nie sú konformne invariantné, táto náhodou je. Presnejšie, nech Ω   je škálovací faktor v zmysle, ktorý sme uviedli vyššie. Tento faktor môže mať v každom bode priestor(očas)u inú hodnotu. Keď teraz týmto faktorom preškálujeme celý priestoročas, dostaneme novú spinorovú deriváciu, ktorú označíme strieškou. Vtip je v tom, že ak definujeme nové elektromagnetické pole vzťahom

toto nové pole splňuje Maxwellove rovnice v preškálovanom priestoročase:

To je zmysel tvrdenia, že pole je konformne invariantné: ak ho preškálujeme tým istým faktorom ako priestoročas, preškálované pole bude riešením Maxwellových rovníc v preškálovanom priestoročase.

Pekné na tom je, že rovnice pre pole akéhokoľvek spinu majú rovnaký tvar a líšia sa len počtom indexov. Napríklad pole pre nehmotné častice so spinom 1/2 má jediný index a vyhovuje rovnici

Gravitóny majú spin 2, takže príslušný spinor má 4 indexy (a na rozdiel od iných polí sa obvykle značí symbolom Ψ) a vyhovuje rovnici

Táto rovnica je ekvivalentná Einsteinovým rovniciam vo vákuu. A tak ďalej pre nehmotné polia iných spinov. Všetky tieto rovnice sú konformne invariantné.

Inými slovami, keby v prírode existovali len takéto polia, ktoré sú invariantné voči zmene škály, nemali by sme žiadnu možnosť ako merať vzdialenosti a čas. Vesmír vyplnený takýmito poliami by nepoznal rozdiel medzi stavom tesne po veľkom tresku a o miliardy rokov neskôr (táto myšlienka je ostatne v srdci Penroseovej cyklickej kozmológie, o ktorej som dávnejšie písal). 

Čím to teda je, že predsa len vieme dĺžky a časy merať? Všetko prestáva byť konformne invariantné, keď sa do veci vloží hmotnosť. Nehmotné častice (fotóny, gravitóny) sa pohybujú rýchlosťou svetla, ale častice s hmotnosťou sa vždy pohybujú rýchlosťou menšou. Ak do uvedených rovníc pridáme hmotnosť, prestanú byť konformne invariantné. Je to zaujímavé, pretože v Galileiho argumente to bola práve hmotnosť, ktorá nedovolila preškálovať pudlíka ľubovoľne veľkým faktorom (Galileiho argument modifikovaný na pudlíka je v svetovej literatúre známy ako Galileiho-Scholtzov argument. Ja som vymyslel pudlíka, kolega Galilei dopracoval detaily).

Zdá sa však, že príroda má tendenciu v istom zmysle preferovať nehmotné častice. Keď chceme vybudovať teóriu elektroslabých a silných interakcií (na základe princípu kalibračnej invariancie, čo je zase iný koncept), z teórie automaticky vypadne, že všetky častice majú nulovú hmotnosť. Pretože vieme, že existujú aj hmotné častice, bolo treba do teórie zapracovať aj tento fakt a riešením je slávny Higgsov mechanizmus. Hovorí sa tiež o tzv. spontánnom narušení symetrie: stav, kedy sú všetky častice nehmotný, je maximálne symetrický, ale nestabilný, takže najmenšia náhodná porucha spôsobí porušenie symetrie, čo má za následok, že častice získajú hmotnosť. Ale to je iný príbeh, chcel som len ukázať, že konformná invariancia je akosi od začiatku zabudovaná do našich teórií, hoci výsledok konformne invariantný nie je. 

Záver

V tomto pomerne dlhom článku sme sa zamerali na štúdium všeobecných vlastností konformných transformácií. Na jednoduchých príkladoch v rovine som vysvetlil, čo to konformné transformácie sú, ukázali sme, ako ich možno použiť na riešenie praktických problémov (Žukovského profil) a na záver sme sa dotkli otázky, či sú konformné transformácie a invariancia voči nim typickým rysom prírody. 

V ďalšom článku sa pozrieme na to, ako transformácie súvisia s čiernymi dierami, o ktorých sme si v tomto článku veľa nepovedali. V úvode článku sme však vysvetlili motiváciu: cieľom je geometrický, na súradniciach nezávislý popis geometrie v okolí čiernej diery. Uvidíme, že pomocou konformnej tranfsormácie môžeme nekonečný priestoročas zmenšiť na konečnú veľkosť (aby sa vošiel na papier). Z takto vzniknutého obrázku potom môžeme vyčítať, ako sa telesá v okolí čiernej diery pohybujú, že existuje viac druhov nekonečna a podobne.

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

EKONOMIKA

Učiteľ, ktorý sa rád hral. Ako sa Milan Reindl stal dizajnérom Lego Technic

Nevyštudoval techniku ani dizajn. Napriek tomu sa stal jedným z jedenástich dizajnérov Lego Technic. Len vďaka tomu, že si rád z lega skladal veci, na ktoré nemal návod.

DOMOV

Smer chce byť politicky nekorektný aj robiť poriadky v osadách

Novými podpredsedami sú Blanár a Žiga.

SVET

Výbuchy pri štadióne v Istanbule zabili najmenej 13 ľudí

K explóziám došlo hodinu po zápase medzi Besiktasom a Bursasporom.


Už ste čítali?