Čierne diery, čast VI: Penroseove diagramy

Autor: Martin Scholtz | 12.10.2014 o 1:16 | Karma článku: 4,50 | Prečítané:  1414x

V ostatnom článku sme si vysvetlili, čo sú konformné transformácie vo všeobecnosti. Videli sme, že všeobecná konformná transformácia vyzerá tak, že preškálujeme dĺžky všetkých objektov, ale v každom bode inak. Táto transformácia zachováva uhly. Zmienili sme pár aplikácií konformných transformácií (Žukovského profil) a ľahko me sa dotkli súvisu komplexných funkcií a konformných trasnformácií. Článok sme zakončili úvahami o tom, či sú fyzikálne zákony konformne invariantné a povedali sme, že konormná invariancia je typicky narušená vtedy, ak popisujeme častice, ktoré majú nenulovú hmotnosť. Dnes si vysvetlíme, ako konformné transformácie vlastne súvisia s priestoročasom.

Mám vo zvyku na začiatku článku opakovať základné pojmy, ale pokúsim sa predísť prehnanej dĺžke článku, tak aspoň túto časť vynechám. Pre pochopenie tohto článku stačí o konformných transformáciách vedieť to, čo je uvedené v perexe. Predpokladám však, že čitateľ má za sebou predošlé články o priestoročase a čiernych dierach.

 

Kauzálna štruktúra Minkowského priestoru

Hoci nás zaujímajú aplikácie v teórii čiernych dier (teda v zakrivených priestoročasoch), problematiku Penroseových diagramov najlepšie pochopíme na príklade plochého Minkowského priestoročasu. Aj keď pre väčšinu čitateľov je to už dobre známe (však, Agud?), predsa len zopakujem, ako vyzerajú svetočiary v Minkowského priestore.

Priestoročas je abstraktný priestor udalostí, teda vecí, ktoré sa stali v určitom čase na určitom mieste. Na obrázku vidíme najprv dve osi, t a r, na ktoré nanášame súradnice. Priestoročas je štvorrozmerný, pretože na určenie času potrebujeme jednu, a na určenie polohy tri súradnice. Štvorrozmerný obrázok ale nevieme nakresliť, tak sa dohodnime, že namiesto troch priestorových súradníc budeme do obrázku zakresľovať len vzdialenosť daného bodu od počiatku súradníc, tú označíme r. Na zvislú os potom budeme nanášať časovú súradnicu t

Bod (puntík) zaznačený čiernym plným kolesíkom nech predstavuje nejakú udalosť. Pre konkrétnosť predpokladajme, že v tomto bode došlo k rozsvieteniu baterky. Súradnice tejto udalosti sú (t, r), kde t je čas rozsvietenia baterky a r je poloha baterky. Ak baterka zostáva v pokoji, jej súradnica r sa nemení: je stále v rovnakej vzdialenosti. Takže v neskoršom čase bude mať baterka súradnice (T, r), kde T je onen neskorší čas, ale r zostáva rovnaké. Na uvedenom priestoročasovom obrázku sa teda baterka "pohybuje" vo zvislom smere, jej svetočiara je zvislá prerušovaná čiara. 

Samotné svetlo, ktoré baterka vyslala, sa však pohybuje vysokou rýchlosťou všetkými smermi od baterky.  Pre svetlo sa teda bude meniť aj časová, ale aj priestorová súradnica. Priestoročasové diagramy kreslíme tak, aby svetelné svetočiary (učene: nulové geodetiky) zvierali so zvislou osou uhol 45 stupňov. Neprerušované čiary vedené pod týmto uhlom, ktoré sa pretínajú v puntíku, teda predstavujú svetelné svetočiary. Všetky možné svetelné geodetiky z daného bodu tvoria tzv. svetelný kužeľ. Všetky svetočiary hmotných častíc musia ležať vnútri svetelného kužeľa, svetočiary ležiace mimo kužeľ by zodpovedali nadsvetelnej rýchlosti, čo teória relativity zakazuje. 

Naopak, vodorovná prerušovaná čiara predstavuje všetky udalosti, ktoré sa stali v tom istom čase, ako došlo k vyslaniu signálu. Ako sme si už viackrát vysvetľovali, tieto udalosti spolu nemôžu nijak komunikovať, pretože krivka, ktorá by ich spájala, leží mimo svetelný kužeľ. Takéto krivky matematicky existujú, ale nezodpovedajú pohybu reálnych fyzikálnych častíc. Reálne častice sa pohybujú rýchlosťou svetla, ak majú nulovú hmotnosť, alebo podsvetelnou rýchlosťou, ak majú kladnú hmotnosť. Na obrázku je ešte modra cikcakoidná čiara, korá predstavuje nejaký všeobecný pohyb častice. Ak sa nepohybuje rovnomerne, môže byť svetočiara všelijak kľukatá, ale nesmie byť menej strmá, než svetelný kužeľ a nesmie tento kužeľ nikde pretnúť.

Hovoríme, že svetelný kužeľ  definuje kauzálnu štruktúru priestoročasu. Tým sa myslí to, že udalosti, ktoré ležia vnútri svetelného kužeľa, spolu môžu komunikovať a môže byť medzi nimi kauzálny vzťah (neskoršia udalosť môže byť následkom skoršej). Ak nejaká udalosť leží mimo svetelný kužeľ nášho puntíka (udalosť rozsvietenia baterky), nemôže byť rozsvietenie baterky príčinou tejto udalosti. 

Svetočiary tak rozdeľujeme na tri druhy:

  • časupodobné, ktoré ležia vnútri svetelného kužeľa a predstavujú pohyb reálnych častíc
  • priestorupodobné, ktoré ležia mimo svetelný kužeľ a zodpovedajú nadsvetelnej rýchlosti
  • nulové, ktoré ležia práve na plášti svetelného kužeľa a zodpovedajú šíreniu svetla

 

Ako zobraziť graf celej funkcie sínus na konečnom intervale?

Jediný problém v našom priestoročasovom obrázku je, že je väčší než monitor. Vskutku, časová súradnica siaha od mínus nekonečna do plus nekonečna, priestorová vzdialenosť zase od nuly do nekonečna. Inými slovami, na konečný kus papiera nemôžeme nakresliť celý priestoročas, pretože ten je nekonečný. A tu práve prichádza finta vymyslená Rogerom Penroseom a opiera sa o konformné transformácie. 

Veľmi ma láka napísať explicitne matematické vzťahy, ktoré realizujú Penroseovu transformáciu, pretože sú veľmi jednoduché. Ale odolám a celú myšlienku ilustrujem na ešte viac zjednodušenom príklade. Zo strednej školy poznáme funkciu tangens. Teraz je jedno, kde sa tá funkcia berie (beztak to všetci viete), ale postačí nám jej graf:

Toto je len časť grafu. Na x-ovej osi sme sa obmedzili na interval -pi/2 až pi/2, kde pi je obvyklé Ludolfovo číslo. Mimo tohto intervalu sa funkcia periodicky opakuje, ale nás zaujíma len na tomto intervale. Na hraniciach intervalu totiž tangens rastie do nekonečna. Na obrázku to samozrejme nevidieť, pretože nemôžeme nakresliť nekonečný obrázok, ale vidíte, že ako sa blížime od nuly k  bodu -pi/2 (takže sprava doľava), tangens klesá stále rýchlejšie. A je možné dokázať, že limitne ide až do mínus nekonečna. Podobne, ak ideme zľava doprava od nuly smerom k bodu pi/2, tangens rastie stále rýchlejšie a dá sa ukázať, že limitne sa blíži do plus nekonečna.

Prečo je to zaujímavé? Pretože pomocou tejto funkcie vieme zobraziť konečný interval na nekonečný! Funkcia je všade rastúca, teda na intervale -pi/2 až pi/2 (s vynechanými krajnými bodmi) nadobúda všetky hodnoty od mínus nekonečna do plus nekonečna (s vynechanými "krajnými" bodmi). Ak teda budeme nejakú veličinu meniť v intervale -pi/2 až pi/2 a potom z nej urobíme tangens, nová veličina bude nadobúdať všetky možné hodnoty od mínus do plus nekonečna.

Ilustrujme to na príklade. Funkciu sínus pozná aj predškolské dieťa, časť jej grafu je toto:

Zase je to periodická funkcia, ale tentokrát sme ju vykreslili na intervale dlhšom, než je jej perióda. Ak by sme chceli túto funkciu zobraziť celú, museli by sme mať vo vodorovnom smere k dispozícii nekonečne široký monitor. Ale je tu i ďalšia možnosť! 

Pomocou funkcie tangens môžeme interval 0 až nekonečno stlačiť na interval 0 až pi/2. Ak teda nakreslíme miesto funkcie sínus funkciu 

 

zobrazíme tak graf celej funkcie sínus na konečnom intervale. Tento graf bude zdeformovaný, ale bude celý:

Sami z obrázka vidíte, že zobrazenie funkcie sínus na konečnom intervale sme docielili na úkor toho, že graf je riadne zdeformovaný (podobne ako Cimrman dosahoval absolútneho rýmu na úkor obsahu). Všimnime si zvláštnu črtu tohto grafu: nový graf na začiatku vyzerá ako normálny sínus, ale jeho perióda sa postupne skracuje, takže maximá a minimá funkcie sú stále hustejšie. Keď sa blížime na osi x k bodu pi/2, tak sa v skutočnosti blížime do nekonečna a vlnová dĺžka funkcie sínus sa skracuje k nule. V blízkosti nekonečna (reprezentovaného bodom pi/2) sú už oscilácie sínu tak divoké, že nedokážeme okom jednotlivé kopčeky rozoznať.

Dôležitá je jedna vlastnosť tejto konštrukcie. Ak sme mali pôvodnú funkciu sínus, mohli sme sa pýtať, ako sa táto funkcia chová v nekonečne. Pod nekonečnom sa tu myslí proces, kedy sa x stále zväčšuje a zväčšuje. Ak sa hodnota funkcie f pre stále väčšie x blíži k jednej konkrétnej hodnote, hovoríme, f má limitu pre x idúce do nekonečna. Musíme teda uvažovať limitný proces, pretože nekonečno nie je konkrétny bod, môžeme sa k nemu len blížiť, čo znamená, že neobmedzene zväčšujeme x.

Ale v našom grafe je nekonečno reprezentované konkrétnym bodom: je to bod pi/2! Tým, že sme celý priestor preškálovali funkciou tangens (vlastne funkciou k nej inverznou, ale teraz ide o Myšlienku), pritiahli sme bod nekonečno to bodu pi/2, takže to už nie je nejaký abstraktný bod, ku ktorému sa môžeme len blížiť, je to celkom konkrétny bod na osi x.

Z matematiky ale vieme, že práve funkcia sínus je príkladom funkcie, ktorá v nekonečne limitu nemá, neblíži sa k žiadnemu konkrétnemu číslu. Pretože sínus neustále osciluje medzi hodnotami 1 a -1, akokoľvek ďaleko sme, nemá limitu a naša preškálovaná funkcia nakreslená na obrázku nie je v bode pi/2 vôbec definovaná. 

Ale uvažujme trochu inú funkciu,

 

 

Táto funkcia sa podobá na sínus, ale jej amplitúda (výška kopčekov) sa postupne zmenšuje, takže jej normálny graf vyzerá takto:

Vidíme, že hoci táto funkcia tiež osciluje, oscilácie prebiehajú medzi stále menšími hodnotami, pôvodná amplitúda 1 rýchlo klesá. Intuitívne cítime, že v nekonečne bude táto funkcia nulová. (Je ešte jeden srandovný rozdiel medzi pôvodným sínom a novou funkciou. Kto si ho všimne, má u mňa bit-čokoládu(bit-coinami nedisponujem).) Graf preškálovanej funkcie bude vyzerať takto:

Ešte si ukážeme, ako to bude vyzerať v dvoch rozmeroch. Nasledujúci obrázok predstavuje guľovú vlnu, ktorá sa šíri z daného bodu do všetkých smerov a jej amplitúda so vzdialenosťou klesá.

Z tohto obrázku si vieme domyslieť, ako bude vyzerať graf funkcie v zbytku priestoru, ale pomocou preškálovania môžeme zobraziť celý graf na konečnej ploche:

A tu si ešte všimnime, že na prvom obrázku je jasne vidieť, že nevidíme celú funkciu a že ten graf pokračuje do celého priestoru. Ale na druhom sme graf celej funkcie scvrkli do kružnice s polomerom pi/2. Inými slovami, kružnica, ktorá ohraničuje celý graf, vlastne predstavuje nekonečno. Z nekonečna tak prestáva byť abstraktný bod, ku ktorému sa môžeme len limitne približovať. Nekonečno je tvorené bodmi kružnice. A zase vidíme, že vlnová dĺžka sa po preškálovaní skracuje, až v nekonečne sa stáva nulovou.

 

Einsteinov statický vesmír

Podobnú fintu použil Penrose, aby reprezentoval celý nekonečný priestoročas na konečnom kuse papiera a použil k tomu konformné transformácie. Zvoľme si v priestoročase ľubovoľný bod (ľubovoľnú udalosť) a nazvime ho počiatkom súradnicovej sústavy. Predstavme si ďalej, že dĺžky všetkých objektov budeme skracovať tak, že ich vynásobíme číselným faktorom menším než 1, ale tak, že čím sme ďalej od zvoleného počiatku, tým  menší tento faktor bude. Ako sa budeme blížiť do nekonečna, hodnota tohto faktora nech pôjde k nule. Je to presne ako to, čo sa stalo s naším úbohým sínom. Vlnová dĺžka sa tam skracovala stále viac a viac, až v nekonečne bola vlnová dĺžka nulová.

Komplikácia je, že priestoročas má 4 rozmery a k tomu, aby bolo možné uvedenú myšlienku realizovať konformnou transformáciou, musíme obvyklú Minkowského metriku (viz. predchádzajúce články) transformovať do iných súradníc, a to niekoľko krát. Podstatný je výsledok. Ukazuje sa, že celý nekonečný Minkowského priestoročas možno pomocou konformnej transformácie vložiť do tzv. Einsteinovho statického vesmíru. To si žiada vysvetlenie.

Čitatelia asi vedia, že keď Einstein vymyslel teóriu relativitu, chcel docieliť, aby z nej vyplynul statický, v čase nemenný vesmír. Zistil však, že to teória relativity neumožňuje, že vesmír sa musí buď rozpínať alebo kolabovať. Aby teda umožnil statické riešenie svojich rovníc, musel ich "znásilniť" a umelo do nich vložiť tzv. kozmologickú konštantu, ktorá predstavuje odpudivú gravitačnú silu. Tak docielil (veľmi krehkú) rovnováhu medzi príťažlivou a odpudivou silou a dostal tak ako riešenie nových rovníc aj vesmír, ktorý sa v čase nemení. Rýchlo sa ale ukázalo, že je to len pseudo-riešenie, pretože táto rovnováha je tak krehká, že akákoľvek malá porucha by spôsobila kolaps alebo naopak prudké rozpínanie vesmíru. Inými slovami, toto Einsteinovo riešenie je nestabilné. Naviac, chvíľu na to zverejnil Hubble svoj objav, že vesmír sa vskutku rozpína a nie je statický. K folklóru teoretickej fyziky patrí, že Einstein takto premeškal najväčší objav v dejinách. Vymyslel rovnice, ktoré rozpínanie vesmíru predpovedali, ale neveril im, takže vymyslel trochu pozmenené rovnice, aby dostal, čo chce. Ale príroda chcela niečo iné, takže Einstein vraj sám povedal, že zavedenie kozmologickej konštanty bola najväčšia chyba jeho života. Až moderné pozorovania ukázali, že rozpínanie vesmíru sa v skutočnosti zrýchľuje, čo by zodpovedalo práve kozmologickej konštante. A tak sa už pár rokov fyzici snažia zistiť, ako to, že predsa len kozmologická konštanta existuje.

Či už však kozmologická konštanta existuje alebo nie, Einstein objavil novú geometriu, preto dnes nesie jeho meno. Táto geometria popisuje vesmír, ktorý je uzavretý a v čase sa nemení. To, že sa v čase nemení, je pochopiteľný výrok, ale skúsme naznačiť, čo znamená podmienka uzavretosti.

Pojem kružnice je nám dobre známy, ale uvedomme si, že si nevieme predstaviť kružnicu samu osebe, vždy si ju predstavujeme nakreslenú na dvojrozmernom papieri. Ale samotná kružnica je jednorozmerný útvar! Ak by existovala nejaká bodová bytosť (nula rozmerná), ktorá žije na kružnici, tá by sa mohla pohybovať len v jednom smere, pozdĺž (alebo proti smeru) kružnice. Nemohla by však odbočiť vľavo ani vpravo, tobôž hore alebo dole. Mohla by ísť len rovno, sledujúc kružnicu. Keby však táto bytosť urazila vzdialenosť rovnú obvodu kružnice, zrazu by sa ocitla na tom istom mieste. Nejaký fyzikálny mudrlant žijúci na kružnici by teda prehlásil, že ich vesmír je uzavretý. O kružnici hovoríme v matematike ako o 1-sfére, kde jednotka znamená dimenziu.

Podobne 2-sféra je dvojrozmerná uzavretá plocha predstavujúca povrch gule. Guľa, tak ako ju poznáme, je trojrozmerný útvar, ale jej povrch je dvojrozmerný, preto 2-sféra. Na povrchu gule sa miestni obyvatelia môžu pohybovať dvoma smermi (pozdĺž poludníka alebo pozdĺž rovnobežky), ale nech sa vydajú ktorýmkoľvek smerom a pôjdu stále "rovno" (teda po geodetike), nakoniec sa vrátia do toho istého bodu.

Takže kružnicu (1-sféru) si predstavujeme ako vloženú do dvojrozmerného priestoru, povrch gule (2-sféru) si predstavujeme ako vloženú do trojrozmerného priestoru. A čo 3-sféra? Tú by sme si mali predstaviť vloženú do štvorrozmerného priestoru, ale ten už si nevieme predstaviť vôbec. Ak by mal vesmír tvar 3-sféry, mohli by sme sa v ňom pohybovať troma nezávislými smermi: hore-dole, vľavo-vpravo, dopredu-dozadu. Ale keby sme vyštartovali po priamke jedným zvoleným smerom, po čase by sme sa dostali do východzieho bodu. A miestni chytrolíni by to nazvali, že náš vesmír je uzavretý.

A práve túto vlastnosť má Einsteinov statický vesmír. V tomto modeli je vesmír 3-sférou, teda je uzavretý a konečný. A pretože sa nerozpína ani nezmršťuje, polomer tejto 3-sféry je v čase konštantný. Priestoročas je 4-rozmerný, teda k trom rozmerom 3-sféry musíme pridať štvrtý rozmer, čas. Ak by sme chceli znázorniť Einsteinov statický vesmír, museli by sme 3-sféru vložiť do štvorrozmerného plochého priestoru. Ak k tomu pridáme čas, zisťujeme, že adekvátny model Einsteinovho vesmíru by sme dostali jeho vložením do 5-rozmerného plochého priestoročasu. To je samozrejme o dve dimenzie viac, než máme k dispozícii. Ak chceme tento vesmír znázorniť na dvojrozmernom papieri, jeden rozmer musí zaujať čas, pretože ten je pre priestoročasový popis kľúčový. Na papieri nám teda zostáva jediný rozmer, pomocou ktorého znázorniť zostávajúce priestorové dimenzie. Avšak aj na dvojrozmernom papieri vieme znázorňovať pomocou perspektívy trojrozmerné objekty, takže ak je jeden rozmer čas, ešte stále môžeme na papieri znázorniť dva priestorové rozmery. Lenže sféry rozmeru n si vieme vždy predstaviť len ako vložené do n+1 rozmerného priestoru, takže na papier zakreslíme maximálne 1-sféru. Preto dvojrozmerný model Einsteinovho vesmíru vyzerá takto:

Ako naznačuje šípka, čas v tomto obrázku plynie smerom nahor, ako je v priestoročasových obrázkoch obvyklé, až slušné. Einsteinov vesmír teda vyzerá ako povrch valca (nie celý valec, len jeho plášť!). Ak urobíme vodorovný rez valcom v nejakom čase, dostaneme kružnicu (nie kruh, len kružnicu). Ale v skutočnosti je táto kružnica 3-sféra, akurát pre nedostatok rozmerov ju znázorňujeme kružnicou.

Takže toto je zhruba geometrický popis Einsteinovho statického vesmíru. Aby nedošlo k mýlke, netvrdí sa, že náš vesmír takto vyzerá. Toto je riešenie, ktoré našiel Einstein, keď veril tomu, že vesmír je statický, v čase nemenný. Ale aj keď tento model je nesprávny, z matematického hľadiska sa jedná o prípustnú geometriu a dokonca sa ukazuje, že táto nefyzikálna geometria má viacero užitočných aplikácií. A jedna z nich sa nás priam bytostne týka.

 

Penroseov diagram pre Minkowského priestoročas

Pripomeňme, že naším cieľom je reprezentovať nekonečný Minkowského priestoročas v konečnej oblasti za pomoci konformných transformácií. Na príklade funkcie sínus sme videli, že pomocou vhodnej transformácie môžeme nekonečno priniesť do konečnej vzdialenosti. Ale zároveň sme videli, že takáto transformácia môže graf funkcie veľmi zdeformovať. Takže neočakávame, že po takejto transformácii dostaneme fyzikálne relevantný priestoročas. Priestoročas, ktorý vznikne konformnou transformáciou skutočného, fyzikálneho priestoročasu, nazývame nefyzikálny priestoročas. Nefyzikálny priestoročas nie je riešením Einsteinových rovníc a vo všeobecnosti má úplne inú geometriu, než ten pôvodný. Zmysel je len v tom, že sa nám podarí reprezentovať nekonečný priestoročas na konečnom kuse papiera. Dôvod, prečo je to zaujímavé fyzikálne, uvediem za chvíľu.

No a v prípade Minkowského plochého priestoru sa ukazuje, že po vhodnej konformnej transformácii sa z Minkowského priestoru stane kúsok Einsteinovho statického vesmíru. V tom netreba hľadať žiadnu hlbšiu súvislosť, je to svojím spôsobom matematická kurviozita. 

Takto sa nám (po vzore Penrosea) podarilo celý nekonečný Minkowského priestor reprezentovať ako konečný výsek Einsteinovho statického vesmíru. Nie je to krása? Je to krása.

Spomeňme si na príklad s dvojrozmerným grafom vlny zo začiatku článku. Tam sme videli, že po preškálovaní sa abstraktné nekonečno posunulo do celkom konkrétnej kružnice s polomerom pi/2. Podobne tu sa nekonečno Minkowského priestoru presunulo do konečnej vzdialenosti a tvorí hranicu sivého trojuholníka namotaného na einsteinovský valec. (Aj keď to z môjho obrázka možno nie je úplne zrejmé, tento trojuholník leží na plášti valca, nepretína ho).

Vysvetlili sme si, že v našom obrázku je pár zjednodušení, aby sme sa vošli na dvojrozmerný monitor. Ale tento obrázok je zvolený tak, aby vystihoval tie najpodstatnejšie veci. Predstavme si, že Minkowského priestor namotaný na Einsteinov valec teraz rozvinieme do roviny (nemôžem si pomôcť, ale evokuje mi to epizódu z Maxipsa Fíka, keď prešiel autom sliepku, čím z nej urobil placku, takže ju potom pekne zroloval; tak my robíme inverznú operáciu: zrolovaný Minkowského priestor zase pekne narovnáme). Dostaneme tak trojuholník v rovine:

Všimnite si, že v pôvodnom Minkowského priestore som súradnice značil t a r, teda malými písmenami, kým v tomto obrázku ich označujem T a R, teda veľkými písmenami. Je to preto, že tento konformne preškálovaný priestoročas je skutočne iný, než pôvodný Minkowského. Jeden rozdiel je, že v pôvodnom priestore plynul čas od mínus nekonečna do plus nekonečna a súradnica r nadobúdala hodnoty od nuly do nekonečna. V tomto preškálovanom priestore nadobúdajú súradnice len konečné hodnoty. Naviac, v tomto novom obrázku sú súradnice T a R obmedzené podmienkou, že vždy musia popisovať bod vnútri trojuholníka (alebo na jeho hranici), nemôžu z neho "vybočiť". Sú to teda v princípe iné súradnice než t a r, ale inuitívne ich môžeme chápať ako čas a vzdialenosť. Až na to, že nekonečne vzdialená budúcnosť zodpovedá konečnej hodnote T a nekonečne vzdialený bod zodpovedá konečnej hodnote R.

 

Kauzálna štruktúra Minkowského priestoru: znova a inak

Videli sme, že svetočiary v Minkowského priestore delíme na časupodobné, priestorupodobné a nulové. Ako príklad časupodobnej svetočiary si vezmime tú, kedy častica zostáva stále na tom istom mieste a mení sa len jej časová súradnica. Pripomeňme si obrázok zo začiatku článku: čiary s konštantným r zodpovedali zvislým čiaram. Konformné transformácie však priestor deformujú, takže v novom obrázku sú takéto svetočiary odlišné. Ale majú veľmi zaujímavú vlastnosť. Predstavme si dve častice, ktoré sedia na stále tom istom mieste, ale každá na inom. V pôvodnom Minkowského priestore ich svetočiary budú takéto:

Prerušované časti čiar znázorňujú to, že tieto čiary siahajú až do nekonečna. Ten istý obrázok v nefyzikálnom, preškálovanom priestoročase vyzerá takto:

Vidíme, že tieto dve svetočiary sú rozdielne, každá zodpovedá inej polohe. Až na to, že kým v pôvodnom priestore to boli zvislé priamky, tu sú to krivky. To je ale v poriadku, pretože vieme, že konformné transformácie objekty deformujú. Podstatnejšie je však niečo iné. Pripomínam, že v našom preškálovanom priestoročase nie je nekonečno naozaj nekonečne vzdialené, ale nekonečne vzdialené body reprezentuje onen trojuholník, ktorý je hranicou Minkowského priestoru. Vidíme ale, že obe svetočiary začínajú a končia v tom istom bode. Kým v Minkowského priestore sú to rovnobežné zvislé čiary, v konformne preškálovanom priestore sú to krivky, ktoré obe začínajú v bode i- a končia v bode i+.

Bod i- predstavuje udalosť v čase mínus nekonečno a nazýva sa minulé časové nekonečno. Podobne bod i+ sa nazýva budúce časové nekonečno. Takže časupodobné svetočiary začínajú v minulom a končia v budúcom časovom nekonečne (s jednou výhradou, ku ktorej sa za chvíľu dostanem). 

A čo priestorupodobné krivky? Pripomínam, že kým časupodobné svetočiary predstavujú pohyb reálnych častíc pohybujúcich sa podsvetelnou rýchlosťou, priestorupodobné krivky by zodpovedali nadsvetelnej rýchlosti a teda skutočné častice sa takto pohybovať nemôžu. Ale tieto krivky zase reprezentujú celý priestor v danom časovom okamihu. V obyčajnom Minkowského priestore vyzerajú takto:

Prerušované čiary zase znamenajú, že priestorová vzdialenosť môže siahať od nuly až o nekonečna. Ten istý obrázok v preškálovanom Minkowského priestore:

Znovu vidíme, že priamky sa zdeformovali na krivky, ale tentokrát obe končia v bode i0, ktorý sa nazýva priestorupodobné nekonečno..

To je ale zaujímavé. Zistili sme, že časupodobné krivky začínajú/končia v minulom/budúcom nekonečne, priestorové krivky končia v priestorovom nekonečne. Zvislá strana trojuholníka reprezentuje nulovú vzdialenosť r = R = 0. Zostávajú teda dve strany trojuholníka, ktoré reprezentujú nekonečno, ale ani priestorupodobné, ani časupodobné svetočiary tam nekončia.

A tu prichádza pekná vlastnosť konformných tranformácií, totiž, že tieto transformácie zachovávajú uhly. To bola vlastne definícia konformnej transformácie, že môže meniť dĺžky, tvar objektov, ale uhly medzi ľubovoľnými dvoma krivkami musia zostať zachované.

Zároveň ale vieme, že v pôvodnom Minkowského priestoročase sme definovali svetelný kužeľ. Tento kužeľ je tvorený svetočiarami, pozdĺž ktorých sa šíri svetelný signál. A videli sme, že svetelné svetočiary (nazvali sme ich nulové) sa v Minkowského priestoročase šíria pod uhlom 45 stupňov. Keďže konformné transformácie zachovávajú uhly, bude sa svetlo šíriť v preškálovanom priestoročase presne tak isto, ako v pôvodnom Minkowského priestore, teda pod uhlom 45 stupňov!

Takže zatiaľčo svetočiary skutočných častíc musia skončiť v i+ alebo v i-, zatiaľčo priestorupodobné krivky musia končiť v i+, svetelný signál môže skončiť kdekoľvek na jednej z dvoch šikmých strán trojuholníka, ktorý reprezentuje hranicu Minkowského priestoru, teda jeho nekonečno. Tieto dve strany dohromady nazývame svetelné nekonečno a hornú stranu nazývame budúce, kým dolnú minulé svetelné nekonečno. Nulové svetelné nekonečno sa značí kaligrafickým I, viď obrázok dole. Anglicky sa tomu hovorí "script I", čítaj "skript áj", z čoho vznikla skratka "scri", čítaj "skráj". Ja sa budem na nulové svetelné nekonečno odvolávať ako na "scri" a v texte ho budem pre jednoduchosť značiť ako veľké I, kým v obrázkoch ho poctivo vypisujem ako kaligrafické I. Budúce svetelné nekonečno sa teda nazýva "scri plus" a minulé "scri minus".

Všetky možné typy svetočiar znázorňuje nasledujúci obrázok:

Inak to, že svetelné svetočiary vyzerajú v konformnom diagrame rovnako ako v pôvodnom priestoročase, je priamy dôsledok toho, o čom sme písali v minulom článku. Tam som vysvetľoval, že samotné svetlo (ako elektromagnetické vlnenie) sa riadi Maxwellovými rovnicami, ktoré sú konformne invariantné, teda necítia zmenu škály. Zmena škály sa prejaví len vtedy, keď uvažujeme častice s nenulovou hmotnosťou, kým fotóny majú hmotnosť nula. To sa priamo premieta do toho, že svetelné svetočiary zostávajú konformnou transformáciou nedotknuté, stále sú to priamky vedené pod 45 stupňovým uhlom.

(Odbočka. Vždy, keď sa slovo "uhol" vyskytne v inštrumentáli, spomeniem si na jeden starodávny diel relácie Aj múdry schybí. Pýtali sa tam jedného respondenta, aký je rozdiel medzi ostrým a tupým uhlom. Odpoveď znela: "Uhlom? Nie uhlom, my na plyn kúrime" )

Tento obrázok sa nazýva Penroseov diagram pre Minkowského priestor. 

Záver

Ukázali sme, ako možno pomocou konformnej transformácie nekonečný Minkowského priestoročas reprezentovať v konečnej oblasti. Konformné transformácie zachovávajú uhly, ale inak môžu objekt dosť deformovať. Preto sa v konformne preškálovanom Minkowského priestoročase priamky deformujú na rôzne krivky. Ale pre kauzálnu štruktúru Minkowského priestoročasu je dôležitý svetelný kužeľ, a ten sa konformnou transformáciou nemení. Takže hoci nám Penroseov diagram nepovie názorne, ako vyzerajú svetočiary jednotlivých pozorovateľov (priamky v ňom vyzerajú ako krivky), jeho výhoda je v tom, že celý priestoročas vidíme na malom kúsku papiera, a pritom sa zachováva kauzálna štruktúra. Tým myslíme, že svetelný kužeľ pred a po transformácii vyzerajú rovnako. Krivky, ktoré ležali v svetelnom kuželi pred transformáciou, budú v ňom ležať aj po nej (aj keď budú mať iný tvar). Krivky, ktoré ležali mimo kužeľ, budú ležať mimo kužeľ aj po transformácii. Z viacerých dôvodov má v teórii relativity najväčší význam práve svetelný kužeľ a ten zostáva pri transformácii nemenný.

A ako to súvisí s čiernymi dierami, ktorým je táto séria článkov venovaná? Detaily uvidíme v ďalšom článku, ale naznačme myšlienku.

Minkowského priestor je plochý, predstavuje priestor bez gravitácie. Čierne diery sa naopak vyznačujú extrémnou gravitáciou v ich okolí. Ale! Čierna diera je izolovaný objekt. V jej blízkosti sa môžu diať rôzne divy (veľké divy i Maledivy), ale čím ďalej sme od čiernej diery, tým je jej gravitačné pole slabšie. Pretože gravitácia je prejav krivosti priestoročasu, čím ďalej sme od čiernej diery, tým menšia bude aj krivosť priestoročasu a tým viac sa bude geometria približovať Minkowského. Takže teoreticky, ak by sme odišli od čiernej diery do nekonečna, videli by sme plochý priestor. Ale čo to znamená, nekonečno? Penroseove diagramy umožňujú skúmať vlastnosti dier v nekonečne práve vďaka tej finte, že konformnou transformáciou sa nekonečno prenesie do konečnej vzdialenosti. To je veľký Penroseov príspevok k teórii čiernych dier (resp. jeden z mnohých jeho veľkých príspevkov). Vďaka tejto finte potom môžeme analyzovať nekonečne vzdialené body od čiernej diery metódami lokálnej analýzy.

No a povedali sme, že čierna diera je síce extrémny gravitujúci objekt, ale keď sme veľmi ďaleko od nej, nepoznáme to, čierna diera sa bude prejavovať ako obyčajná hviezda, tie extrémne efekty sa prejavujú len v jej blízkosti. V nekonečne veľkej vzdialenosti od čiernej diery by sme mali registrovať len plochý priestor. Preto tieto priestoročasy nazávame asymptoticky ploché, teda ploché v nekonečnej vzdialenosti.

Avšak pretože v nekonečne je priestor na nerozoznanie od plochého, znamená to, že aj štruktúra nekonečna bude veľmi podobná! Takže aj v okolí čiernej diery budeme mať scri, a priestorupodobné a časové nekonečno. Jednotlivé priestoročasy popisujúce čierne diery sa budú líšť len svojím vnútrom, ale navonok budú mať podobnú štruktúru. 

To je veľmi dôležité, ak chceme pochopiť Hawkingovo žiarenie čiernych dier, čo je hlavný cieľ tejto série článkov. V kvantovej teórii poľa na krivom priestoročase je totiž problém s definíciou častíc, ešte o tom budeme hovoriť. Len naznačím, že aby sme dokázali definovať, čo je to častica a koľko častíc sa v priestore nachádza, potrebujeme mať jednoznačne daný smer plynutia času (v zmysle priestoročasového diagramu). V plochom priestore to nie je problém, pretože všetci inerciálni pozorovatelia sa dohodnú na tom, čo je vákuum, čo je stav s jednou časticou, čo je stav s dvoma časticami, atď. Ale ak sa voči sebe pohybujú zrýchlene (čo je v krivom priestore nevyhnutné), ich štatistiky sa budú líšiť a tak neexistuje objektívny spôsob, ako povedať, že v danom stave je toľko a toľko častíc. Vo všeobecnom prípade je tento problém neriešiteľný. 

No v asymptoticky plochých priestoročasoch sa tento problém dá obísť. Síce sa rôzni pozorovatelia nezhodnú na počte častíc, ale tí, ktorí sú dostatočne ďaleko od čiernej diery, sa na tom zhodnú! V Minkowského priestore existuje jasný preferovaný smer plynutia času, takže aj počet častíc má objektívny význam

Preto sa celý Hawkingov efekt, teda vyžarovanie častíc čiernymi dierami, rieši vzhľadom na pozorovateľov v nekonečne. A celé to má zmysel len v asymptoticky plochom priestore. No ale k tomu všetkému sa ešte dostaneme. Vydržte to!

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

EKONOMIKA

Učiteľ, ktorý sa rád hral. Ako sa Milan Reindl stal dizajnérom Lego Technic

Nevyštudoval techniku ani dizajn. Napriek tomu sa stal jedným z jedenástich dizajnérov Lego Technic. Len vďaka tomu, že si rád z lega skladal veci, na ktoré nemal návod.

DOMOV

Smer chce byť politicky nekorektný aj robiť poriadky v osadách

Novými podpredsedami sú Blanár a Žiga.

SVET

Výbuchy pri štadióne v Istanbule zabili najmenej 13 ľudí

K explóziám došlo hodinu po zápase medzi Besiktasom a Bursasporom.


Už ste čítali?