Pod binárnym systémom budeme v tomto texte rozumieť sústavu dvoch objektov, ktoré obiehajú okolo spoločného stredu, ťažiska. Týmito objektmi, ktoré nazývame zložkami binárneho systému, môžu byť napríklad hviezdy, vtedy hovoríme o dvojhviezdach. Pre nasledujúcu diskusiu však majú väčší význam sústavy, v ktorých sú zložkami buď neutrónové hviezdy alebo čierne diery, alebo jedna neutrónová hviezda a jedna čierna diera. Pretože čierna diera (už) nie je hviezdou, používam radšej pojem binárny systém než dvojhviezda. Vo všeobecnosti však binárny systém nemusí pozostávať len z astrofyzikálnych objektov. Aj sústavu pozostávajúcu z dvoch nabitých častíc, ktoré spolu interagujú prostredníctvom elektromagnetického poľa a pritom obiehajú po kružnici, budeme nazývať binárny systém.
Binárne systémy v klasickej teórii gravitácie
Pod klasickou teóriou gravitácie rozumieme Newtonovu teóriu, ktorá sa vyučuje na strednej škole. V tejto teórii je existencia binárnych systémov bezproblémová. Uvažujme dva objekty ľubovoľných hmotností, v ľubovoľnej vzdialenosti. Najjednoduchší binárny systém spočíva v tom, že oba tieto objekty budú obiehať po kružniciach s určitou frekvenciou obiehania. Ak bude frekvencia obiehania príliš veľká, objekty budú pociťovať veľkú odstredivú silu a gravitácia ich na kružniciach neudrží -- binárny systém sa rozletí. Naopak, ak bude frekvencia primalá, gravitačná sila bude väčšia než odstredivá a obe zložky binárneho systému sa budú približovať, až sa zrazia. (Odporcom pojmu odstredivá sila sa ospravedlňujem)
Newtonova teória však hovorí, že pre objekty daných hmotností a pri danej vzdialenosti existuje práve jedna taká frekvencia, pri ktorej budú gravitačná a odstredivá sila v rovnováhe, takže zložky binárneho systému sa skutočne budú pohybovať po kružniciach. Takýto binárny systém je znázornený na nasledujúcom obrázku.
Obrázok 1.
To, že takáto konfigurácia v newtonovskej teórii existuje, má zaujímavý dôvod, ktorý nebude v relativistických teóriách platiť. Newtonova gravitačná sila je centrálna, takže pôsobí vždy na spojnici ťažisiek oboch telies, tak ako je to znázornené na obrázku:
Obrázok 2.
Modrou šípkou je znázornená sila, ktorou pôsobí modré teleso na červené a naopak. Vidíme, že obe sily smerujú do stredu obiehania. Fyzikálny dôsledok je, že pri pohybe po kružnici gravitačná sila nemení rýchlosť pohybu ale len jeho smer: spôsobuje zakrivenie trajektórie oboch telies, ale ani ich neurýchľuje ani nespomaľuje.
Binárne systémy v elektrodynamike
Než sa presunieme do všeobecnej teórie relativity, je dôležité pochopiť, ako sa veci majú v špeciálnej teórii relativity. Klasická teória elektromagnetizmu založená na Maxwellových rovniciach je špeciálne relativistická teória. Čitatelia, ktorých zaujíma fyzika, asi vedia, že v špeciálnej teórii relativity sa namiesto priestoru uvažuje plochý štvorrozmerný priestoročas. Vo svojich predošlých blogoch som vysvetľoval, prečo je vhodné fyzikálne zákony formulovať radšej v štvorrozmernom priestoročase než v trojrozmernom priestore a nebudem teraz odbočovať, aby som to znovu vysvetlil. Neskôr v článku však vysvetlím, čo sa zmení prechodom ku zakrivenému priestoročasu.
Uvažujme teraz dve nabité častice, jednu s kladným nábojom a druhú s nábojom záporným. Ako vieme, dve častice s opačným nábojom sa priťahujú a zákon, ktorý toto priťahovanie kvatitatívne opisuje sa dokonca zhoduje s Newtonovým gravitačným zákonom. Mohli by sme si preto naivne myslieť, že aj v elektrodynamike je možné dosiahnuť, aby dva opačne nabité náboje obiehali okolo spoločného stredu po kružniciach.
V skutočnosti sa takto ľudia v minulosti snažili vysvetliť stavbu atómu. Hovorím o známom Rutherfordovom planetárnom modeli. V tomto modeli je v strede atómu kladne nabité jadro a okolo neho krúžia záporne nabité elektróny. Ak sa vhodne zvolí frekvencia obiehania elektrónov, malo by byť možné dosiahnuť, aby sa príťažlivá elektrická sila vyrovnala s odstredivou a teda elektróny by zostávali v konštantnej vzdialenosti od jadra.
Ale teória elektromagnetizmu hovorí, že toto nie je možné. Súvisí to s existenciiou elektromagnetického žiarenia. Teória jednoznačne hovorí, že náboj, ktorý sa pohybuje po kružnici, musí vyžarovať elektromagnetické vlny. Na tomto jave je založené napríklad vysielanie rádiových vĺn: elektróny v anténe kmitajú s určitou frekvenciou a pritom vysielajú rádiové vlny príslušnej frekvencie. No tieto vlny samozrejme nesú energiu. Rádiové vlny sú nakoniec absorbované nejakou prijímacou anténou a spôsobia, že v tom istom rytme začnú kmitať elektróny v prijímači. Odkiaľ vezmú elektróny v prijímači energiu na to, aby kmitali? Dostanú ju od prijímanej vlny. A odkiaľ má energiu ona? Získala ju na úkor energie elektrónov vo vysielači. Tieto elektróny majú zase zdroj energie v elektrickej zásuvke, atď. Ide o to, že vysielané vlny nesú energiu, ktorú odoberajú elektrónom, ktoré vlny vytvorili. V rádiu to nie je problém, pretože rádio je zapojené do zásuvky a čerá energiu odtiaľ.
Avšak v prípade binárneho systému, kedy uvažujeme len dve nabité častice, nemáme žiaden dodatočný zdroj energie. Častice pohybujúce sa po kružnici vysielajú elektromagnetické vlny a tým strácajú energiu. To znamená, že sa nemôžu udržať na periodických kruhových orbitách, ale postupne sa musia spomaľovať a teda postupne zmenšovať polomer obiehania, až sa nakoniec zrazia. Situáciu ilustruje nasledujúci vkusný obrázok. Šípky symbolicky znázorňujú vyžarované elektromagnetické vlny, čiarkovaná kružnica predstavuje trajektóriu, ktorú by sme si želali, a plná špirála je skutočnou trajektóriou nabitej častice.
Obrázok 3.
Ako je to s pôsobiacimi silami? V newtonovskej teórii sme videli, že sily sú vždy centrálne, smerujú do stredu obiehania. Akými silami na seba pôsobia nabité častice? Pokiaľ viem, touto otázkou v tomto konkrétnom prípade sa ešte nikto nezaoberal a výsledok je veľmi zaujímavý. Napísali sme o tom pár príspevkov do zborníkov na konferenciách a podobne, ale definitívny článok ešte nie je napísaný, pretože v ňom rozoberáme hlavne (všeobecne relativistický) gravitačný prípad a ten ešte nie je dokončený.
Dva náboje, ktoré sa nepohybujú, na seba pôsobia tzv. coulombovskou silou a vzťah pre ňu je rovnaký ako pre Newtonovu gravitačnú silu. Coulombov zákon sa ostatne učí aj na strednej škole. Podľa Coulombovho zákona sú teda elektrické sily tiež centrálne. Ak by platil Coulombov zákon, všetko by fungovalo presne ako v newtonovskej teórii gravitácie. Situácia sa však začne komplikovať, keď sa náboje pohybujú. Podľa teórie elektromagnetizmu náboje okolo seba budia pole, ktoré sa šíri rýchlosťou svetla. Tá je síce veľká, ale predsa len konečná, takže poľu trvá určitý čas, než sa dostane z bodu A do bodu B. Hovoríme, že pole je retardované, teda šíri sa s oneskorením, retardáciou.
Čo to znamená pre náš problém? Označme pre jednoduchosť naše častice, ktoré obiehajú po kružnici, symbolmi A a B. Častica A vytvára pole, ktoré sa šíri (propaguje) k častici B a naopak. Takže častica A ovplyvňuje pohyb častice B, ale až v neskoršom, retardovanom čase. Pozrime sa zase na obrázok.
Obrázok 4.
Označil som tu červenú časticu ako A a modrú ako B. Čierna zakrivená šípka naznačuje smer obiehania. Plnými krúžkami som vyznačil polohu oboch častíc v určitom ľubovoľnom čase. V tomto čase sa častica A nachádza vo vzdialenosti r od častice B a budí určité pole. Ale toto pole musí prekonať vzdialenosť r, aby sa dostalo k častici B. Inými slovami, v tomto okamihu nevie častica B nič o tom, čo sa práve deje s časticou A, pretože pole k nej ešte nestihlo doraziť. Namiesto toho v uvažovanom čase častica B cíti pole, ktoré vzbudila častica pred chvíľou, pretože toto pole k nej práve dorazilo. Vtedy bola častica A vzdialená od častice B o vzdialenosť r' . Táto poloha je vyznačená prázdnou prerušovanou červenou kružnicou a nazýva sa retardovaná poloha. Takže ak skúmame, ako častica A ovplyvňuje pohyb častice B v čase t, musíme uvažovať nejakú skoršiu, retardovanú polohu častice A, nie tú súčasnú!
Aký smer bude mať sila, ktorou pôsobí častica A z retardovanej polohy na B? Naivne by sme si mohli myslieť, že sila bude smerovať z častice B do retardovanej polohy častice A, ako na tomto obrázku:
Obrázok 5.
Otáznik som do obrázka doplnil, aby som zdôraznil, že ešte nevieme, či je to pravda, len si myslíme, že by mohla byť. Hovoril som o tomto s viacerými fyzikmi z rôznych kútov sveta, a všetci mali pocit, že by to takto malo byť. Na druhej strane, keby to tak naozaj bolo, tak by sila F pohyb častice B urýchľovala. Prečo? Pretože ukazuje v smere pohybu častice B, takže nie len zakrivuje jej trajektóriu v smere kolmom k pohybu častice B, ale pôsobí aj v smere pohybu a tým ho zrýchľuje. Z obrázku 3 zo začiatku blogu však vieme, častica B by sa mala v skutočnosti spomaľovať a vlastne obe častice by mali po špirále padať do stredu. Takže obrázok 5 je veľmi zrozumiteľný, intuitívne pochopiteľný a nesprávny.
Intuícia je jedna vec, rovnice sú druhá. Keď poctivo vypočítame skutočnú silu, zistíme, že má požadovaný smer a v skutočnosti situácia vyzerá takto:
Obrázok 6.
Sila, ktorou pôsobí častica A na časticu B, má požadovaný SMER a všetky istoty, ktoré si fyzici zaslúžia, zostali zachované. Táto sila pôsobí proti aktuálnemu pohybu častice B a teda ho spomaľuje, čo vyústi v pád častice B po špirále do stredu obiehania. Toto chovanie sme s mojim študentom dokázali v práci jeho bakalárskej práce pomocou numerických výpočtov celého procesu na počítači. Tam sme však neuvažovali elektrodynamiku, ale linearizované Einsteinove rovnice (to je zjednodušená forma úplných Einsteinových rovníc, keď sú hmotnosti častíc malé). Formálne sú linearizované Einsteinove rovnice identické s Maxwellovými rovnicami pre elektromagnetické pole, preto sa niekedy linearizovanej Einsteinovej teórii hovorí aj gravitomagnetizmus. Keď sa však tieto rovnice rozpíšu do detailov, sú omnoho komplikovanejšie, takže len samotné pohybové rovnice zaberajú niekoľko strán spomínanej bakalárskej práce. Je zaujímavé, že niekedy aj zdanlivo jednoduchý problém je neriešiteľný bez pomoci počítača.
Čím je tento výsledok zaujímavý? Tým, že je veľmi neintuitívny. V newtonovskej teórii smerujú sily vždy do stredu ako na obrázku 2. Musíme si uvedomiť, že v elektromagnetizme sa pole šíri rýchlosťou svetla (a nie okamžite), takže častica B nie je ovplyvnená súčasnou polohou častice A, ale jej o niečo skoršou polohou. Očakávali by sme preto, že sila bude smerovať od súčasnej polohy častice B do retardovanej polohy častice A. Ale výpočet ukazuje, že to tak nie je a táto sila v skutočnosti smeruje od častice A.
Fyzikálne vysvetlenie však nie je tak ťažké, keď sa nad tým človek poriadne do hĺbky zamyslí. Povedali sme, že zrýchlene sa pohybujúci náboj vyžaruje elektromagnetické vlny. Takže pole častice A má v skutočnosti dve zložky: jedna je coulombovská, o ktorej sme hovorili, jedna je radiačná, súvisí so žiarením. Tá coulombovská má skutočne smer, ktorý by sme očakávali ako na obrázku 5. Ale elektromagnetické žiarenie je priečne, čo je dobre známy fakt z teórie poľa. Znamená to, že kmity poľa prebiehajú vždy v smere kolmom na jeho šírenie. Smer šírenia je v tomto prípade daný spojnicou častice A v retardovanej polohe a častice B v súčasnej polohe. Príslušná sila bude teda kolmá na túto spojnicu (na obrázku 4 je to vzdialenosť r'). To, že výsledná sila F bude mať smer ako na obrázku 6 je teda dôsledkom tejto radiačnej, žiarivej zložky poľa.
Helikálna symetria
Po podrobnom rozbore elektromagnetického prípadu sa vráťme k ústrednej myšlienke tohto článku. Hneď na úvod sme videli, že v newtonovskej teórii gravitácie môžu binárne systémy existovať. Môžu existovať v elektrodynamike? V predchádzajúcej sekcii sme vlastne dospeli k záveru, že NIE! Sú na to dva argumenty. Prvý: po kružnici sa pohybujúce častice musia vyžarovať energiu vo forme elektromagnetických vĺn, takže svoju energiu strácajú a po špirále padajú do stredu obiehania. Druhý argument: častice na seba pôsobia tak, že častica A spomaľuje časticu B a naopak. Obe častice teda strácajú rýchlosť a po špirále padajú do stredu obiehania. Dve úvahy, rovnaký záver.
Ako som už hovoril, práve toto bol kameň úrazu pri pokuse predstaviť si atóm ako elektróny obiehajúce okolo jadra. Elektróny musia podľa klasickej teórie vyžarovať a atóm by mal v zlomku sekundy skolabovať. To sa nedeje, takže ľudia museli vymyslieť kvantovú mechaniku, aby vysvetlili, prečo sú atómy predsa len stabilné. A ako čitateľ asi vie, kvantová teória je spolu s teóriou relativity jedným z pilierov modernej fyziky a bola potvrdená s takou šialenou presnosťou, že dnes o jej platnosti nemožno reálne pochybovať. To však neznamená, že kvantová mechanika nemá svoje problémy, ale to je na iný článok.
Predsa však spomeniem jednu vec. Keď si Rutherford a iní uvedomili, že planetárny model nie je podľa klasickej teórie možný, ale ešte nemali kvantovú teóriu, prišiel s provizórnym návrhom Niels Bohr. Navrhol, že existujú určité hladiny, na ktorých elektrón jednoducho nevyžaruje. Nepodal žiaden dôvod, prečo by nemali vyžarovať, ale postuloval, že také hladiny existujú. Podľa Bohrovho modelu teda elektrón síce vo všeobecnosti vyžaruje vlny, ale sú také špeciálne hladiny, kedy to neplatí a elektrón obieha okolo jadra po kružnici a nestráca energiu. Vypočítal tieto hladiny pre atóm vodíka a výsledky sa zdali byť v súlade s experimentom, ale len v najjednoduchšom prípade: jeden protón a jeden elektrón. Neskôr Schrödinger sformuloval svoju slávnu kvantovomechanickú rovnicu a ukázal, že z nej pre tento jednoduchý systém vyplývajú rovnaké energetické hladiny elektrónov ako z Bohrovho modelu. Ale naviac, zo Schrödingerovej rovnice bolo možné vypočítať správne aj energetické hladiny pre zložitejšie systémy. Preto sa aj dnes v úvodných vysokoškolských kurzoch kvantovej mechaniky hovorí, že Schrodingerova (neviem, kde je na slovenskej klávesnici ö, tak to budem písať takto, aby som ich nemusel stále prepínať) rovnica vysvetľuje Bohrove energetické hladiny. Ale nie je to úplne pravda.
Keď sa rieši Schrodingerova rovnica pre atóm vodíka, automaticky sa predpokladá, že medzi elektrónom a jadrom existuje len coulombovská interakcia! A tento prístup dáva výborný súhlas s experimentom, to však nič nemení na tom, že sa nevysvetľuje, prečo elektrón nežiari. V tomto zmysle sa nejedná o príliš veľký pokrok. Do Schrodingerovej rovnice sa dosadzuje interakcia medzi jadrom a elektrónom, ale tá sa berie ako keby boli obe častice nehybné. Vedie to k skvelým predpovediam, ale nerieši to ten základný problém, prečo elektrón na určitých hladinách nevyžaruje.
Podobné otázky trápili významného fyzika Alfreda Schilda niekedy v 60. rokoch. Bol to relativista, teda ho zaujímala primárne gravitácia; sú po ňom pomenované tzv. Kerrove-Newmanove-Schildove riešenia popisujúce nabité rotujúce čierne diery. Ale tento problém kvantovej mechaniky ho zaujal a prišiel s originálnym nápadom. Nesnažil sa samozrejme vyvrátiť kvantovú mechaniku, ale vyriešiť problém, prečo elektróny pri pohybe okolo jadra nevyžarujú. Pokúsil sa dokonca vysvetliť na základe svojho modelu štruktúru elementárnych častíc a publikoval pár veľmi zaujímavých článkov na túto tému. Jeho predstavy nezaznamenali širší záujem a z nasledujúceho výkladu vyplynie prečo. Spomínam to tu podrobne preto, že jeho prístup je dnes inšpiráciou pre teóriu gravitácie a binárnych systémov, aj keď v trochu inom zmysle. Skúsme stručne priblížiť Schildovu pozoruhodnú ideu. Zdôrazňujem, že sa jedná o čiste matematickú konštrukciu, takže zatiaľ si nelámte hlavu s tým, či to v prírode skutočne môže takto fungovať. Dostanem sa aj k tejto otázke.
Ešte raz: binárny systém pozostávajúci z dvoch nabitých častíc nemôže existovať, pretože častice pohybujúce sa po kružnici musia strácať energiu vyžarovaním elektromagnetických vĺn. OK, ale čo keby sme túto stratu energie dokázali kompenzovať? Čo keby na systém dvoch obiehajúcich častíc dopadalo nejaké elektromagnetické žiarenie, ktoré by presne dopĺňalo energiu, ktorú tento systém stráca vyžarovaním? Potom by bola energia všetkých zúčastnených častíc konštantná a v princípe by tieto častice mohli neobmedzenú dobu obiehať po kružniciach.
Ako však docieliť, aby dopadajúce žiarenie bolo presne v rovnováhe s vychádzajúcim žiarením? Schildovo riešenie je nasledovné. Rovnice elektromagnetického poľa objavil Maxwell, takže hovoríme o Maxwellových rovniciach. Tieto rovnice majú tú vlastnosť, že sú symetrické voči plynutiu času (ako vlastne všetky dôležité rovnice dnešnej fyziky). Na vysvetlenie použijem pekný príklad, ktorý som, myslím, čítal niekedy v nejakej knihe od Paula Daviesa. Predstavme si hladinu jazera, ktoré je lemované rôznymi rastlinami. Keď rybár uprostred jazera vyvolá sčerenie hladiny, z tohto miesta sa šíria vlny až na okraj jazera a tam spôsobia kymácanie rastlín v rytme týchto vĺn. To sú retardované vlny: rozruch na hladine spôsobí vznik vĺn, ktoré sa určitou rýchlosťou šíria a po nejakom čase dospejú až k brehom jazera a vyvolajú kmitanie rastlín. Dôsledok vlnenia teda nasleduje až potom, čo vlnenie vzniklo. Je to podobné, ako v našej diskusii o retardovanom pôsobení častice A na časticu B v predošlej sekcii.
Ale môžeme si predstaviť i opačnú situáciu. Keby sa všetky rastliny súčasne rozkymácali jedným konkrétnym spôsobom, malo by to za následok, že by sa začala z okrajov jazera šíriť vlny, ktoré by sa šírili smerom k rybárovi a tam by sa skoncentrovali do jedného bodu. Na celú situáciu sa môžeme pozerať aj tak, že sme obrátili smer chodu času: namiesto vlny, ktorá sa šíri od zdroja (rybára) smerom k okrajom jazera, máme vlnu, ktorá sa šíri od okrajov jazera naspäť k zdroju (rybárovi). Alebo ešte inak: vlny sa od zdroja (rybára) šíria späť v čase, takže k okrajom jazera dospejú v skoršom čase, než boli vyslané. Takéto vlny sa, na rozdiel od retardovaných, nazývajú advansované, teda predbiehajúce.
Fyzikálne je vznik advansovaných vĺn extrémne nepravdepodobný, tak nepravdepodobný, že nič podobné s najväčšou pravdepodobnosťou nikdy nebudeme pozorovať. Aby vznikla advansovaná vlna, museli by sa všetky trsy trávy na okraji jazera spoločne začať pohybovať veľmi špeciálnym spôsobom. Takže z fyzikálneho hľadiska môžeme existenciu advansovaných vĺn vylúčiť.
Niečo iného je, že Maxwellove rovnice, ktorými elektromagnetizmus popisujú, majú aj retardované aj advansované riešenie. Ak je riešením Maxwellových rovníc retardovaná vlna cestujúca dopredu v čase, je riešením aj jej zrkadlový obraz, teda advansovaná vlna cestujúca v čase dozadu. Zaujímavé je, že pomocou kombinácie retardovaných a advansovaných vĺn je možné vysvetliť niektoré elektromagnetické efekty, ktoré štandardná elektrodynamika nevie vyriešiť, alebo len veľmi ťažko. Mám na mysli hlavne existenciu brzdnej sily, čo úzko súvisí aj s našimi binárnymi systémami, ale teraz to nebudem rozoberať. Záujemcom o túto tému odporúčam historické práce Wheelera a Feynmana, Diraca, Fokkera, alebo súčasné práce Walda či Poissona.
Vráťme sa teda k Schildovi a jeho riešeniu. Pripomeňme, o čo šlo. Nabitá častica pohybujúca sa po kružnici nutne vyžaruje vlny, stráca energiu. Aby sme ju udržali v rovnovážnom stave, museli by sme zabezpečiť prítomnosť dopadajúceho žiarenia, ktoré by straty presne kompenzovalo. No a tu Schilda napadlo, že to je presne to, čo robí advansovaná vlna. Kým retardovaná vlna je budená časticou a odchádza do nekonečna, advansovaná vlna prichádza z nekonečna a dopadá na systém, ktorý túto vlnu budí. Presne ako vlny na hladine jazera, ktoré sa šíria od okrajov smerom k zdroju (rybárovi).
Advansovaná vlna je zrkadlovým obrazom tej retardovanej, takže energia, ktorú retardovaná vlna odnáša je presne rovná energii, ktorú advansovaná vlna naopak prináša. Pritom advansovaná aj retardovaná vlna sú riešením tých istých Maxwellových rovníc. Schild teda navrhol, aby sme za celkové riešenie Maxwellových rovníc vzali súčet retardovaného a advansovaného riešenia. Tak dostaneme riešenie Maxwellových rovníc popisujúce dve častice obiehajúce po kružnici. A bez kvantovej mechaniky!
Takže aj v elektrodynamike existujú binárne systémy, aj keď na začiatku sa zdalo, že je to nemožné. Ale znovu podotýkam, že toto riešenie považujeme za nefyzikálne: vznik advansovaných vĺn je fakticky vylúčený. Celé riešenie má význam len z matematického hľadiska, ale predsa len je užitočné, ako uvidíme.
Na záver tejto sekcie ešte vysvetlím názov helikálna symetria. Vec je veľmi jednoduchá. Predstavme si, že už máme binárny systém v rovnovážnom stave, kedy častice skutočne obiehajú po kružnici, vyžarujú vlny, ale zároveň na ne dopadá advansované žiarenie, ktoré túto stratu presne kompenzuje.
Majme teda časticu, ktorá obieha po kružnici v rovine. Nazvime túto rovinu rovinou x,y. K nej teraz pridáme tretiu os t, ktorá bude reprezentovať čas. Takže okrem toho, že sa častica pohybuje po kružnici v rovine, pohybuje sa aj v čase, teda v smere kolmom k uvažovanej rovine. Dostaneme potom takýto obrázok:
Prerušovaná kružnica označuje trajektóriu častice v skutočnom priestore, v rovine x,y. Súvislá krivka potom znázorňuje trajektóriu (presnejšie svetočiaru) častice v priestoročase. Priestoročas je samozrejme len matematický model, ale umožňuje nám pochopiť kauzálne vzťahy medzi udalosťami. Vidíme, že svetočiara častice má tvar skrutkovice, anglicky helix. Preto sa sústavám, v ktorých sa častice pohybujú po uzavretých orbitách, hovorí helikálne symetrické. Tento obrázok bude v nasledujúcom článku kľúčový pre pochopenie problému helikálnej symetrie vo všeobecnej relativite.
